Question

Докажите что при любом натуральном а значение выражения a^3 +3a^2+2a кратно 6

Answer 1

Разложим данный многочлен на множители
a³+3a²+2a=a(a²+3a+2)=a(a+1)(a+2)

a²+3a+2=(a+1)(a+2)
D=3²-4*1*2=9-8=1
a₁=(-3+1)/2=-2/2=-1
a₂=(-3-1)/2=-4/2=-2

В итоге, мы получили произведение трёх подряд идущих чисел, среди которых обязательно найдётся хотя бы одно чётное число и число делящееся на три. Следовательно, произведение трёх подряд идущих чисел будет кратно 6. Т.к. итоговое произведение получено из исходного многочлена путём равносильных преобразований, то делаем вывод:
 многочлен а³+3а²+2а  кратен  числу 6.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $a^3 + 3a^2 + 2a$ кратно 6 при любом натуральном числе $a$, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для $a = 1$, подставим $a$ в выражение и вычислим: $1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 3 + 2 = 6$.

Заметим, что результат равен 6, что делится на 6 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого натурального числа $k$ выражение $k^3 + 3k^2 + 2k$ кратно 6, т.е. делится на 6 без остатка.

Шаг 3: Доказательство для $k+1$ Рассмотрим выражение $(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)$: $(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3(k^2 + 2k + 1) + 2k + 2$. Раскроем скобки и упростим: $k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2 = k^3 + 3k^2 + 2k + 6k^2 + 9k + 6$. Объединим подобные слагаемые: $k^3 + 9k^2 + 11k + 9 = k^3 + 3k^2 + 2k + 6k^2 + 9k + 6 + 6k^2 + 6k + 3$.

Заметим, что первые два члена $k^3 + 3k^2 + 2k$ и последние два члена $6k^2 + 6k + 3$ соответствуют выражениям, которые мы предположили кратными 6.

Таким образом, для $k+1$ выражение $(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)$ также делится на 6 без остатка.

По принципу математической индукции, мы доказали, что для любого натурального числа $a$ выражение $a^3 + 3a^2 + 2a$ кратно 6.