Question

Помогите решить пожалуйста. Lim 1+2+3+...+n/(n-1)(n+3)+2 N->∞

Answer 1

Рассмотрим последовательность 1+2+...+n. Эта последовательность является арифметической прогрессии с первым членом  $a_1=1$ и разностью прогрессии  $d=1$. Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n= \dfrac{2\cdot 1+1\cdot (n-1) }{2}\cdot n= \dfrac{n^2+n}{2}$


Найдем теперь предел:

       $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{n^2+n}{2} }{(n-1)(n+3)+2} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{1+ \frac{1}{n} }{(1-\frac{1}{n})(1+\frac{3}{n})+\frac{2}{n^2}} = \frac{1}{2} \cdot 1=\frac{1}{2}$

Answer 2

Для решения данной задачи, сначала выразим сумму 1 + 2 + 3 + ... + n в явном виде. Эта сумма является арифметической прогрессией, поэтому мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

S = (n/2)(a + b),

где S - сумма прогрессии, n - количество элементов, a - первый элемент, b - последний элемент.

В нашем случае, первый элемент a равен 1, последний элемент b равен n, поэтому:

S = (n/2)(1 + n).

Теперь выразим предел данного выражения:

lim(n->∞) (1 + 2 + 3 + ... + n) / ((n - 1)(n + 3) + 2).

Заметим, что в числителе у нас сумма прогрессии S, а в знаменателе у нас есть n^2 и линейные члены n. Поэтому можем вынести наибольший степенной член n^2 из знаменателя:

lim(n->∞) (S / (n^2 - n + 3n - 3 + 2)).

Упростим выражение в знаменателе:

lim(n->∞) (S / (n^2 + 2n - 1)).

Поскольку степенной член n^2 имеет наибольший коэффициент, мы можем поделить числитель и знаменатель на n^2:

lim(n->∞) ((S / n^2) / (1 + 2/n - 1/n^2)).

При n, стремящемся к бесконечности, коэффициенты 2/n и 1/n^2 стремятся к 0, поэтому:

lim(n->∞) (S / n^2).

Мы выразили наш исходный предел в виде предела отношения суммы арифметической прогрессии к n^2. Теперь рассмотрим предел этого выражения:

lim(n->∞) (S / n^2) = lim(n->∞) ((n/2)(1 + n) / n^2).

Раскроем скобки в числителе:

lim(n->∞) (n/2 + n^2/2) / n^2.

Теперь упростим выражение, деля каждое слагаемое на n^2:

lim(n->∞) (1/2 + 1/2n).

При n, стремящемся к бесконечности, оба слагаемых стремятся к 0, кроме постоянного члена 1/2:

lim(n->∞) (1/2) = 1/2.

Так