Question

Докажите,что сумма трех последовательных чисел КРАТНА 6

Answer 1

Решение задачи с условием, что три последовательных числа - четные. (Ибо сумма любых трех последовательных чисел не кратна 6).

Пусть x (x∈N) - первое из трех последовательных четных чисел, тогда второе и третье равны x+2 и x+4 соответственно.

Запишем сумму
x+x+2+x+4=3x+6=3(x+6)

По признаку делимости, число кратно 6, если оно кратно 2 и 3. 

Очевидно, что 3(x+6) кратно трем, т.к. есть множитель 3. С учетом того, что x - четное число, можно заявить, что x+6 делится на 2, а значит все выражение кратно 6.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства, что сумма трех последовательных чисел кратна 6, можно воспользоваться методом математической индукции.

Пусть первое число в последовательности равно n, тогда следующие два числа будут (n+1) и (n+2).

Тогда сумма трех последовательных чисел будет: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3.

Мы должны показать, что 3n + 3 кратно 6 для любого целого n.

База индукции: Для n = 0: 3n + 3 = 3(0) + 3 = 3, что является кратным 6, так как 6 * 0 = 0.

Предположение индукции: Пусть для некоторого целого k сумма трех последовательных чисел 3k + 3 кратна 6.

Шаг индукции: Докажем, что для k+1 сумма трех последовательных чисел 3(k+1) + 3 также будет кратна 6.

3(k+1) + 3 = 3k + 3 + 3 = (3k + 3) + 3.

По предположению индукции, (3k + 3) кратно 6, и поскольку 3 также кратно 6, то (3k + 3) + 3 будет кратно 6.

Таким образом, сумма трех последовательных чисел 3n + 3 является кратной 6 для любого целого n.

Таким образом, доказано, что сумма трех последовательных чисел кратна 6.