Question

Ребята помогайте. Нужно решить интеграл (cos(x))/(sqrt(3+sin^2(x)) Когда сам решал получился arcsinh((sqrt(3)/3) + sin(x) + C Скажите это правильно или нет.Если нет то объясните как решать,заранее спасибо.

Answer 1

Косинус загоняем под знак диф.
после по формуле sqrt(x^2 + a^2).

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x)dx. Таким образом, интеграл примет вид:

∫(cos(x))/(sqrt(3+sin^2(x)))dx = ∫(1)/(sqrt(3+u^2))du.

Далее мы можем решить этот интеграл, используя подходящую замену. Заметим, что функция 1/sqrt(3+u^2) очень похожа на производную арксинуса. Поэтому сделаем замену v = u/(sqrt(3)), тогда du = (sqrt(3))dv.

Подставим замену и получим:

∫(1)/(sqrt(3+u^2))du = ∫(1)/(sqrt(3+(sqrt(3)v)^2))(sqrt(3))dv = ∫(1)/(sqrt(3+3v^2))(sqrt(3))dv = ∫(1)/(sqrt(3(1+v^2)))(sqrt(3))dv = (1/sqrt(3))∫(1)/(sqrt(1+v^2))dv.

Теперь мы видим интеграл от функции 1/sqrt(1+v^2), который мы можем решить. Интеграл от этой функции это арксинус (константу можно добавить позже):

(1/sqrt(3))∫(1)/(sqrt(1+v^2))dv = (1/sqrt(3))arcsin(v) + C.

Вспомним, что v = u/(sqrt(3)), а u = sin(x), поэтому:

(1/sqrt(3))arcsin(v) = (1/sqrt(3))arcsin(u/(sqrt(3))) = (1/sqrt(3))arcsin(sin(x)/(sqrt(3))).

Таким образом, окончательный ответ:

∫(cos(x))/(sqrt(3+sin^2(x)))dx = (1/sqrt(3))arcsin(sin(x)/(sqrt(3))) + C.

В вашем ответе вы получили arcsinh((sqrt(3)/3) + sin(x)) + C, который отличается от правильного ответа. Пожалуйста, обратите внимание на правильное решение выше.