Question

Знайдіть знаменник нескінченної геометричної прогресії, сума двох перших членів якоъ у 8 разів быльша за суму решти її членів.

Answer 1

За умовою задачі маємо рівняння

b₁ + b₂ = 8b₃/(1 - q);

b₁ + b₁q = 8b₁q²/(1 - q);

Обидві частини рівняння поділимо на b₁.

1 + q = 8q²/(1 - q);

(1 + q)(1 - q) = 8q²;

1 - q² = 8q²;

9q² = 1;

q² = 1/9;

q₁ = 1/3;

q₂ = -1/3.

Отже, знаменник може бути 1/3 або -1/3.

Відповідь: 1/3; -1/3.

Answer 2

Нехай знаменник геометричної прогресії дорівнює r. Тоді перший член прогресії буде р, другий член - рr, третій член - рr*r, і так далі.

Сума двох перших членів прогресії дорівнює р + р*r = р(1 + r).

Сума решти членів прогресії буде рr + рrr + рrrr + ...

За умовою задачі, сума двох перших членів дорівнює 8 разів суми решти членів:

р(1 + r) = 8(рr + рrr + рrrr + ...)

Розділимо обидві частини на р:

1 + r = 8(r + rr + rr*r + ...)

Тепер ми можемо скористатися формулою суми нескінченної геометричної прогресії:

S = a / (1 - r),

де S - сума прогресії, а - перший член прогресії, r - знаменник прогресії.

Таким чином, ми можемо записати суму решти членів прогресії:

S = р*r / (1 - r)

Підставимо це у рівняння:

1 + r = 8(р*r / (1 - r))

Розкриємо дужки:

1 + r = 8р*r / (1 - r)

Перемножимо обидві частини на (1 - r):

(1 - r) + r(1 - r) = 8р*r

Розкриємо дужки:

1 - r + r - r^2 = 8р*r

Скоротимо подібні члени:

1 - r^2 = 8р*r

1 = 8р*r + r^2

Перепишемо рівняння у квадратній формі:

r^2 + 8р*r - 1 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння для r за допомогою формули дискримінанта.

Дискримінант (D) квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0 обчислюється за формулою: D = b^2 - 4ac.

У нашому випадку:

a = 1 b = 8р c = -1

D = (8р)^2 - 4(1)(-1) = 64р^2 + 4

Якщо D > 0, рівняння ма