Question

Y=x+a X^2+2x+1+y^2+2x+1=a Сколько решений имеет эта система уравнений при всех возможных значениях параметра a? Дать полное решение.

Answer 1

Ловите решение.
При a= 0, a=6 данная система имеет ровно одно решение.
Для интервала 0<а<6 система имеет ровно два решения.
Для всех а<0, а>6 система действительных решений иметь не будет.

Answer 2

Для решения этой системы уравнений, вам потребуется объединить уравнения и привести их к общему виду.

Сначала объединим уравнения:

Y = X + a X^2 + 2X + 1 + Y^2 + 2X + 1 = a

Заменим Y во втором уравнении на выражение X + a:

X^2 + 2X + 1 + (X + a)^2 + 2X + 1 = a

Раскроем скобки и упростим:

X^2 + 2X + 1 + X^2 + 2aX + a^2 + 2X + 1 = a

Объединим подобные слагаемые:

2X^2 + 6X + a^2 + 2a + 2 = a

Приведем уравнение к квадратичному виду:

2X^2 + (6 - 1)X + (a^2 + 2a + 2 - a) = 0

2X^2 + 5X + (a^2 + a + 2) = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно X. Чтобы определить количество его решений, рассмотрим дискриминант:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

a = 2 b = 5 c = a^2 + a + 2 = 2^2 + 2 + 2 = 10

D = 5^2 - 4 * 2 * 10 = 25 - 80 = -55

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), уравнение не имеет реальных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений при любых значениях параметра a.