Question

Известно что 4x-1/x=2 найдите значение выражения 16x^2+1/x^2

Answer 1

$4x-\dfrac{1}{x}=2$

Возведем в квадрат:

$\left(4x-\dfrac{1}{x}\right)=2^2\\\left(4x\right)^2-2\cdot4x\cdot\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=4\\16x^2-8+\dfrac{1}{x^2}=4$

Выразим нужную сумму:

$16x^2+\dfrac{1}{x^2}=4+8\\\boxed{16x^2+\dfrac{1}{x^2}=12}$

Answer 2

Чтобы найти значение выражения 16x^2 + 1/x^2, мы должны сначала решить уравнение 4x - 1/x = 2.

Для начала, умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

4x^2 - 1 = 2x

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

4x^2 - 2x - 1 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта. Однако, перед тем как продолжить, я замечу, что это уравнение не имеет рациональных решений. Ответ будет иррациональным числом.

Решая это уравнение, мы получим:

x = (2 ± √(2^2 - 4 * 4 * (-1))) / (2 * 4)

x = (2 ± √(4 + 16)) / 8

x = (2 ± √20) / 8

x = (2 ± 2√5) / 8

x = (1 ± √5) / 4

Теперь, чтобы найти значение выражения 16x^2 + 1/x^2, мы подставим полученные значения x:

Для x = (1 + √5) / 4: 16((1 + √5) / 4)^2 + 1 / ((1 + √5) / 4)^2

= 16(1 + 2√5 + 5) / 16 + 16 / (1 + 2√5 + 5)

= 1 + 2√5 + 5 + 16 / (1 + 2√5 + 5)

= 6 + 2√5 + 16 / (1 + 2√5 + 5)

Для x = (1 - √5) / 4: 16((1 - √5) / 4)^2 + 1 / ((1 - √5) / 4)^2

= 16(1 - 2√5 + 5) / 16 + 16 / (1 - 2√5 + 5)

= 1 - 2√5 + 5 + 16 / (1 - 2√5 + 5)

= 6 - 2√5 + 16 / (1 - 2√5 + 5)

Таким образом, значение выражения 16x^2 + 1/x^2 для данного уравнения зависит от значения x и может быть равно одному из следующих выражений: 6 + 2√5 + 16 / (1 + 2√5 + 5) или 6 - 2√5 + 16 / (1 - 2√5 + 5)