Question

Для трех спортсменов вероятности, выполнить квалификационную норму, равны соответственно 0.8, 0.7, 0.9. Найти вероятность того, что: а) по крайней мере один спортсмен выполнит квалификационную норму, б) два спортсмена выполнят квалификационную норму.

Answer 1

Вероятность выполнения нормы первым, вторым и третьим спортсменом равны соответственно p1=0.8, p2=0.7, p3=0.9, невыполнения - q1=1-p1=0.2, q2=1-p2=0.3, q3=1-p3=0.1.
а) По крайней мере один спортсмен выполнит норму:
то есть обеспечим отсутствие случая, когда все спортсмены не выполнят норму. То есть 1 - q1*q2*q3 = 1 - 0.2*0.3*0.1 = 0.994.
б) Тут я хз, надо "по крайней мере" или "ровно" два спортсмена. Решу для обоих случаев.
По крайней мере два спортсмена выполнят норму:
Из ранее полученного значения вычтем еще и случаи, где ровно один спортсмен выполняет норму, а другие два не выполняют.
1 - q1*q2*q3 - p1*q2*q3 - q1*p2*q3 - q1*q2*p3 = 1 - 0.2*0.3*0.1 - 0.8*0.3*0.1 - 0.2*0.7*0.1 - 0.2*0.3*0.9 = 0.902.
Ровно два спортсмена выполнят норму:
p1*p2*q3 + p1*q2*p3 + q1*p2*p3 = 0.8*0.7*0.1 + 0.8*0.3*0.9 + 0.2*0.7*0.9 = 0.398.

Answer 2

а) Чтобы найти вероятность того, что по крайней мере один спортсмен выполнит квалификационную норму, мы можем использовать дополнение вероятности события "никто из спортсменов не выполнит норму".

Вероятность того, что первый спортсмен не выполнит норму, равна 1 - 0.8 = 0.2. Аналогично, вероятности того, что второй и третий спортсмены не выполнят норму, равны соответственно 1 - 0.7 = 0.3 и 1 - 0.9 = 0.1.

Таким образом, вероятность того, что ни один спортсмен не выполнит норму, равна произведению этих вероятностей: 0.2 * 0.3 * 0.1 = 0.006.

Теперь, используя дополнение, мы можем найти вероятность того, что по крайней мере один спортсмен выполнит норму:

P(по крайней мере один спортсмен выполнит норму) = 1 - P(ни один спортсмен не выполнит норму) = 1 - 0.006 = 0.994.

Таким образом, вероятность того, что по крайней мере один спортсмен выполнит квалификационную норму, равна 0.994.

б) Чтобы найти вероятность того, что ровно два спортсмена выполнит норму, нам нужно учесть все комбинации, когда два из трех спортсменов выполнит норму.

Существует три комбинации, в которых ровно два спортсмена выполнит норму: (1) первый и второй, (2) первый и третий, (3) второй и третий.

Вероятность выполнения нормы для первого и второго спортсменов: 0.8 * 0.7 = 0.56. Вероятность выполнения нормы для первого и третьего спортсменов: 0.8 * 0.9 = 0.72. Вероятность выполнения нормы для второго и третьего спортсменов: 0.7 * 0.9 = 0.63.

Теперь мы складываем вероятности всех трех комбинаций, чтобы получить общую вероятность:

P(ровно два спортсмена выполнит норму) = 0.56 + 0.72 + 0.63 = 1.91.

Таким образом, вероятность того, что два спортсмена выполнит к