Question

Доказать, что корень из 2 - иррациональное число. 43 балла. Копии, спам и другие нарушения не приветствуются.

Answer 1

Пусть √2 рациональное, т.е. √2 = a/b, где a и b - целые числа, не имеющие общих делителей. Отсюда 2 = a²/b², т.е. a² = 2b². Тогда - a² - четное. Но если a² - четное, то и а - четное, т.е. а = 2x. Тогда 4x² = 2b² => b² = 2x², т.е. b - тоже четное. А это отрицает исходную информацию (a и b не имеют общих делителей). Значит √2 нельзя представить в виде a/b, значит это число является иррациональным.

Answer 2

Доказательство того, что корень из 2 является иррациональным числом, можно выполнить посредством метода от противного. Допустим, что корень из 2 является рациональным числом, то есть может быть представлен в виде несократимой дроби p/q, где p и q - целые числа без общих делителей.

Тогда, по определению, (p/q)^2 = 2. Возводя это уравнение в квадрат, получаем p^2/q^2 = 2, что в свою очередь можно записать как p^2 = 2q^2.

Заметим, что число p^2 является четным числом, так как оно равно удвоенному произведению целого числа на само себя. Следовательно, число p также является четным.

Если p является четным числом, то мы можем записать p = 2k, где k - целое число. Подставим это выражение в уравнение p^2 = 2q^2:

(2k)^2 = 2q^2, 4k^2 = 2q^2, 2k^2 = q^2.

Из этого следует, что q^2 также является четным числом, а следовательно, и q является четным числом.

Мы получили, что и p, и q являются четными числами, что противоречит нашему предположению о том, что p/q - несократимая дробь. Таким образом, наше исходное предположение о том, что корень из 2 является рациональным числом, является ложным.

Следовательно, корень из 2 является иррациональным числом.