Question

Найдите первообразную ,проходящую через точку М:а)f(x)=4x-3 ,M(2;1) б)f(x)=3/x+5x,M(1;7)

Answer 1

A)f(x)=4x-3;⇒
F(x)=4x²/2-3x+C=2x²-3x+C;
M(2;1)⇒1=2·2²-3·2+C;
C=-8+6+1=-1;
F(x)=2x²-3x-1;
б)f(x)=3/x+5x;
F(x)=3ln|x|+5x²/2+C;
M(1;7)⇒7=3ln1+5/2+C=5/2+C;
C=7-5/2=7-2.5=4.5;
F(x)=3ln|x|+2,5x²+4,5

Answer 2

а) Для функции f(x) = 4x - 3, чтобы найти первообразную, мы интегрируем выражение 4x по переменной x. Интеграл от константы -3 равен -3x, так как константа является постоянным членом, который сохраняется при дифференцировании или интегрировании.

Интеграл от 4x равен 2x^2 (так как интеграл от x^n равен x^(n+1)/(n+1)).

Итак, первообразная функции f(x) = 4x - 3 имеет вид F(x) = 2x^2 - 3x + C, где C - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной C, мы используем информацию о точке M(2;1). Подставляем x = 2 и y = 1 в первообразную функцию:

1 = 22^2 - 32 + C 1 = 8 - 6 + C 1 = 2 + C C = -1

Таким образом, первообразная функции f(x) = 4x - 3, проходящая через точку M(2;1), имеет вид F(x) = 2x^2 - 3x - 1.

б) Для функции f(x) = 3/x + 5x, чтобы найти первообразную, мы интегрируем выражение 3/x по переменной x и интегрируем 5x по переменной x.

Интеграл от 3/x равен 3ln|x| (так как интеграл от 1/x равен ln|x|).

Интеграл от 5x равен (5/2)x^2 (так как интеграл от x^n равен x^(n+1)/(n+1)).

Итак, первообразная функции f(x) = 3/x + 5x имеет вид F(x) = 3ln|x| + (5/2)x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной C, мы используем информацию о точке M(1;7). Подставляем x = 1 и y = 7 в первообразную функцию:

7 = 3ln|1| + (5/2)*1^2 + C 7 = 0 + 5/2 + C 7 = 5/2 + C C = 7 - 5/2 C = 9/2

Таким образом, первообразная функции f(x) = 3/x + 5x, проходящая через точку M(1;7), имеет вид F(x) = 3ln|x| + (5/2)x^2 + 9/2.