Question

4cos^2x+4sinx-1=0 Решите уравнение.

Answer 1

4cos²x + 4sinx - 1 = 0
Используем основное тригонометрическое тождество:
4 - 4sin²x + 4sinx - 1 = 0
-4sin²x + 4sinx + 3 = 0
4sin²x - 4sinx - 3 = 0
Пусть t = sinx, t ∈ [-1; 1].
4t² - 4t - 3 = 0
D = 16 + 4•4•3 = 48 + 16 = 64 = 8²
t1 = (4 + 8)/8 = 12/8 - не уд. условию
t2 = (4 - 8)/8 = -4/8 = -1/2
Обратная замена:
sinx = -1/2
x = (-1)ⁿ+¹π/6 + πn, n ∈ Z
Ответ: х = (-1)ⁿ+¹π/6 + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Давайте решим уравнение 4cos^2(x) + 4sin(x) - 1 = 0.

Заметим, что 4cos^2(x) можно переписать как 4(1 - sin^2(x)), используя тригонометрическую тождественность cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

4(1 - sin^2(x)) + 4sin(x) - 1 = 0.

Раскроем скобки:

4 - 4sin^2(x) + 4sin(x) - 1 = 0.

Упростим:

-4sin^2(x) + 4sin(x) + 3 = 0.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

-4sin^2(x) + 4sin(x) + 3 = 0.

Домножим уравнение на -1, чтобы коэффициент перед первым членом стал положительным:

4sin^2(x) - 4sin(x) - 3 = 0.

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена или метода подстановки.

(4sin(x) + 3)(sin(x) - 1) = 0.

Теперь решим каждый из двух множителей равенства отдельно:

1. 4sin(x) + 3 = 0: 4sin(x) = -3, sin(x) = -3/4.

2. sin(x) - 1 = 0: sin(x) = 1.

Исследуем полученные значения:

1. sin(x) = -3/4: Это уравнение имеет решение в диапазоне от -1 до 1, поэтому можно найти угол x, для которого sin(x) равно -3/4. Используя тригонометрические таблицы или калькулятор, мы можем найти приближенное значение для x.

2. sin(x) = 1: Это уравнение имеет простое решение: x = π/2 или x = 90 градусов.

Таким образом, решениями исходного уравнения 4cos^2(x) + 4sin(x) - 1 = 0 являются значения x, которые удовлетворяют условиям sin(x) = -3/4 и x = π/2 или x = 90 градусов.