Question

Как вычислить сумму 1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)+...+n*(n+1)

Answer 1

Формулы во вложении.
$=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\frac{n^3+3n^2+2n}{3}$

Answer 2

Задана числовая последовательность, n-й член которой определяется формулой a(n)= n*(n+1). Требуется найти сумму n членов S(n) этой последовательности 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1).
Решением является формула суммы: S(n)=n*(n+1)*(n+2)/3
Проверим методом индукции:
при n=1 S(1)=2,
при n=5 S(5)= 2+6+12+20+30=70= 5*6*7/3=70 -формула действует.
Ответ: сумму заданной последовательности можно вычислить по формуле S(n)=n*(n+1)*(n+2)/3

Answer 3

Данное выражение представляет собой сумму произведений двух последовательных чисел для значений от 1 до n. Чтобы вычислить эту сумму, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Формула для суммы арифметической прогрессии: S = (n/2) * (a + b)

Где: S - сумма прогрессии n - количество элементов a - первый элемент b - последний элемент

В данном случае первый элемент равен 1, а последний элемент равен n * (n + 1). Подставим значения в формулу:

S = (n/2) * (1 + n * (n + 1))

Таким образом, сумма данной последовательности равна (n/2) * (1 + n * (n + 1)).