Question

Периметр прямоугольника равен P. При каких размерах сторон его площадь будет наибольшей? 50 баллов! ​

Answer 1

$P=2(a+b)=2a+2b\; \; ,\; \; 2a=P-2b\; ,\; \; a=\frac{P}{2}-b\\\\S=ab=(\frac{P}{2}-b)\, b=\frac{P}{2}\cdot b-b^2\\\\S'=\frac{P}{2}-2b=0\; \; \to \; \; 2b=\frac{P}{2}\; \; ,\; \; b=\frac{P}{4}\\\\a=\frac{P}{2}-b=\frac{P}{2}-\frac{P}{4}=\frac{P}{4}\; \; \Rightarrow \; \; \; a=b=\frac{P}{4}$

Если стороны прямоугольника равны, то есть прямоугольник является квадратом, и сторона квадрата равна четвёртой части от периметра  $a=\frac{P}{4}$ , то площадь прямоугольника будет наибольшей.

Answer 2

Чтобы определить размеры сторон прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей при заданном периметре P, мы можем использовать неравенство о средних значениях (неравенство Арифметическое-Геометрическое).

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника, тогда периметр P можно выразить следующим образом:

P = 2a + 2b

По неравенству о средних значениях:

P/2 = (2a + 2b)/2 ≥ √((2a) * (2b))

P/2 ≥ √(4ab)

P²/4 ≥ 4ab

P² ≥ 16ab

Теперь мы имеем неравенство, связывающее периметр P и площадь S прямоугольника:

P² ≥ 16ab

Мы также знаем, что площадь прямоугольника вычисляется как S = ab.

Мы хотим найти значения a и b, при которых площадь S будет максимальной. Для этого мы можем максимизировать правую часть неравенства.

Мы видим, что правая часть неравенства достигает максимума, когда a и b равны между собой. То есть a = b.

Таким образом, для нахождения размеров сторон прямоугольника с максимальной площадью при заданном периметре P, мы должны выбрать квадрат, где a = b = P/4.

Поэтому размеры сторон прямоугольника для максимальной площади будут равны P/4 и P/4.

Можно также отметить, что данный результат основан на предположении, что периметр P положителен и достаточно велик, чтобы сформировать прямоугольник.