Question

Из 63 учеников 11 классов в олимпиаде по физике участвовали 31 человек, по биологии 29 человек, по химии 34 человека. В олимпиадах по физике или химии принимали участие 57 человек, в олимпиадах по физике или биологии 39 человек, в олимпиадах по биологии или химии 56 человек. Сколько учеников участвовали ровно в двух олимпиадах?

Answer 1

Ф = 31, Б = 29, Х = 34
Ф + Х = 57
Ф + Б = 39
Х + Б = 56
Физика или Химия.
31 + 34 - 57 = 8 участвовали в Физике и Химии одновременно.
Физика или Биология.
31 + 29 - 39 = 21 участвовали в Физике и Биологии одновременно.
Химия или Биология.
29 + 34 - 56 = 7 участвовали в Химии и Биологии одновременно.
8 + 21 + 7 = 36 чел участвовали в 2 олимпиадах.

Answer 2

Давайте решим эту задачу, используя принцип включения-исключения.

Пусть:

• N(физика) - количество учеников, участвующих в олимпиаде по физике,
• N(биология) - количество учеников, участвующих в олимпиаде по биологии,
• N(химия) - количество учеников, участвующих в олимпиаде по химии,
• N(физика и биология) - количество учеников, участвующих ровно в двух олимпиадах,
• N(физика и химия) - количество учеников, участвующих ровно в двух олимпиадах,
• N(биология и химия) - количество учеников, участвующих ровно в двух олимпиадах.

Мы знаем следующее:

• N(физика) = 31,
• N(биология) = 29,
• N(химия) = 34,
• N(физика или химия) = 57,
• N(физика или биология) = 39,
• N(биология или химия) = 56.

Мы хотим найти N(физика и биология) + N(физика и химия) + N(биология и химия), то есть количество учеников, участвующих ровно в двух олимпиадах.

Используя принцип включения-исключения, мы можем записать:

N(физика или биология или химия) = N(физика) + N(биология) + N(химия) - N(физика и биология) - N(физика и химия) - N(биология и химия) + N(физика и биология и химия).

В данной задаче N(физика или биология или химия) равно общему количеству учеников, участвующих хотя бы в одной олимпиаде, то есть 63.

Подставим известные значения:

63 = 31 + 29 + 34 - N(физика и биология) - N(физика и химия) - N(биология и химия) + N(физика и биология и химия).

Мы видим, что нам нужно найти N(физика и биология и химия).

Теперь посмотрим на количество учеников, участвующих хотя бы в одной олимпиаде: N(физика или биология или химия) = 57 +