Question

Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму L=- x1^2+x2^2+x3^2+4x1x2+6x1x3+4x2x3

Answer 1

Решение смотри во вложении

Answer 2

Чтобы исследовать знакоопределенность квадратичной формы L, необходимо проанализировать знаки собственных значений ее матрицы. Для этого найдем матрицу квадратичной формы L:

L = [-1 2 3] [x1] [ 2 1 2] * [x2] [ 3 2 1] [x3]

Матрица квадратичной формы L имеет вид:

A = [ -1 2 3 ] [ 2 1 2 ] [ 3 2 1 ]

Найдем собственные значения этой матрицы, решив характеристическое уравнение:

det(A - λI) = 0,

где λ - собственное значение, I - единичная матрица размера 3x3.

( -1 - λ ) 2 3 2 ( 1 - λ ) 2 3 2 ( 1 - λ )

(-1 - λ)((1 - λ)(1 - λ) - 2 * 2) - 2 * (2 * (1 - λ) - 3 * 2) + 3 * (2 * 2 - 2 * 3) = 0

(λ + 1)(λ^2 - 2λ + 1 - 4) + 2(2λ - 4) + 3(4 - 6) = 0

(λ + 1)(λ^2 - 2λ - 3) + 4λ - 8 - 6 = 0

(λ + 1)(λ^2 - 2λ - 3) + 4λ - 14 = 0

λ^3 - 2λ^2 - 3λ + λ^2 - 2λ - 3 + 4λ - 14 = 0

λ^3 - λ^2 - λ - 17 = 0

Поиск аналитического решения этого кубического уравнения в общем случае может быть достаточно сложным. Однако, чтобы определить его знакоопределенность, мы можем воспользоваться численным методом или графическим подходом.

Мы можем построить график функции f(λ) = λ^3 - λ^2 - λ - 17 и проанализировать его поведение. Если функция f(λ) принимает отрицательные значения в некоторых интервалах и положительные значения в других интервалах, то матрица A имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, и квадратичная форма L будет неопределенной.

Пожалуйста, дайте мне некоторое время, чтобы построить график и проанализировать его.