Question

Знайти проміжок зростання та спадання ф-ії , екстремуми ф-ії :    f (x) = - x ^ 3 + 6 x ^ 2 - 9 x - 4 

Answer 1

F`=-3x²+12x-9=-3(x²-4x+3)=0
x1+x2=4 U x1*x2=3⇒x1=1 U x2=3
                 +                        _                        +
___________________________________________
возр                    1    убыв                3  возр
                         max                      min
возр   (-≈;1) U (3;≈)    убыв (1;3)
ymax=-1+6-9-4=10
ymin=-27+54-27-4=-4

Answer 2

Щоб знайти проміжок зростання та спадання функції f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x - 4, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції і визначити її знаки.

Похідна функції f(x) дається формулою:

f'(x) = -3x^2 + 12x - 9.

Щоб знайти екстремуми функції, ми повинні знайти значення x, де f'(x) = 0. Знайдемо розв'язки рівняння -3x^2 + 12x - 9 = 0:

-3x^2 + 12x - 9 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 (x - 1)(x - 3) = 0

Отримали два розв'язки: x = 1 і x = 3. Ці значення відповідають можливим екстремумам функції.

Тепер розглянемо знаки похідної f'(x) в різних інтервалах:

1. Інтервал (-∞, 1): Підставляючи в f'(x) довільне значення x < 1, отримуємо: f'(-1) = -3(-1)^2 + 12(-1) - 9 = -3 - 12 - 9 = -24 < 0. Отже, на цьому інтервалі функція f(x) спадна.

2. Інтервал (1, 3): Підставляючи в f'(x) довільне значення x між 1 і 3, отримуємо: f'(2) = -3(2)^2 + 12(2) - 9 = -12 + 24 - 9 = 3 > 0. Отже, на цьому інтервалі функція f(x) зростає.

3. Інтервал (3, +∞): Підставляючи в f'(x) довільне значення x > 3, отримуємо: f'(4) = -3(4)^2 + 12(4) - 9 = -48 + 48 - 9 = -9 < 0. Отже, на цьому інтервалі функція f(x) спадає.

Таким чином, проміжки зростання та спадання функції f(x) визначаються наступним чином:

Проміжок зростання: