Question

Определите промежутки монотонности функции у=2х^3-3x^2-36x+40

Answer 1

1 Вычислим производную функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3
y' = 6x^2 - 6x - 36

Приравняем к нулю и поделим на 6
x^2 - x - 6 = 0

Находим корни этого уравнения с помощью теоремы Виета:
x1 + x2 = 1
x1 * x2 = -6
=> x1 = 3;  x2 = -2

Ветви параболы y = x^2 - x - 6 направлены вверх, следовательно
функция y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3
при x < -2 или x > 3 возрастает
при -2 < x < 3 убывает

Найдём значения функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x
при x = -2 и x = 3
Если x = -2, то y = -16 - 12 + 72 = 44
Если x = 3, то y = 54 - 27 - 108 = -81

=> график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 будет касаться оси абсцисс в точке x = -2;
пересечёт ось абсцисс в точке x > 3
Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 = 0 будет иметь 2 действительных корня.
=> график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 будет касаться оси абсцисс в точке x = 3;
пересечёт ось абсцисс в точке x < -2
Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 = 0 будет иметь 2 действительных корня.

В первом случае  a - 3 = -44 => a1 = -41
Во втором случае a - 3 = 81 => a2 = 84

В итоге получается, что в уравнении 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3 = 0 при a = -41 или a = 84 будут 2 действительных корня

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции у = 2х^3 - 3x^2 - 36x + 40, необходимо найти её производную и проанализировать знаки производной на различных интервалах.

1. Найдём производную функции: у' = 6х^2 - 6x - 36

2. Найдём критические точки, где производная равна нулю или не существует: 6х^2 - 6x - 36 = 0 Делим уравнение на 6: х^2 - x - 6 = 0 Факторизуем: (х - 3)(х + 2) = 0 Отсюда получаем две критические точки: х = 3 и х = -2.

3. Разобьём число на интервалы, используя критические точки и экстремумы функции: Интервал I: х < -2 Интервал II: -2 < х < 3 Интервал III: х > 3

4. Анализ знаков производной на каждом интервале: Для интервала I: Выбираем точку внутри интервала, например, х = -3. Подставляем в производную: у'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 90 > 0. Значит, на интервале I производная положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Для интервала II: Выбираем точку внутри интервала, например, х = 0. Подставляем в производную: у'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0. Значит, на интервале II производная отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.

Для интервала III: Выбираем точку внутри интервала, например, х = 4. Подставляем в производную: у'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 72 > 0. Значит, на интервале III производная положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, промежутки монотонности функции у = 2х^3 - 3x^2 - 36x + 40: I: убывает на (-2, 3) II: возрастает на (-∞, -2) и (3, +∞)