Question

Решите. пожалуйста, 100баллов, срочно прошшшууууууу. завтра нужно уже сдать

Answer 1

Решить неравенство:
  $\log_{x+8}(x^2-6x+6)\log_{6-x}(x^2+8x+8) \leq0$

Рассмотрим функцию:
              $f(x)=\log_{x+8}(x^2-6x+6)\log_{6-x}(x^2+8x+8)$
Область определения функции: $\begin{cases} & \text{ } x^2-6x+6\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x^2+8x+8\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x+8\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } 6-x\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x+8\ne 1 \\ & \text{ } 6-x\ne 1 \end{cases}$
$\begin{cases} & \text{ } x^2-6x+6\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x^2+8x+8\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x\ \textgreater \ -8 \\ & \text{ } x\ \textless \ 6 \\ & \text{ } x\ne5 \\ & \text{ } x\ne-7 \end{cases}$
решим 1 и 2 неравенство из системы неравенств.
$x^2-6x+6\ \textgreater \ 0$
  Приравняем к нулю
$x^2-6x+6=0\\ D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot6=36-24=12$
$D\ \textgreater \ 0$, значит квадратное уравнение имеет 2 действительных корней, найдем их.
                                        $x_1_,_2= \dfrac{-b\pm \sqrt{D} }{2a}$
$x_1_,_2= \dfrac{6\pm \sqrt{12} }{2} = \dfrac{6\pm2 \sqrt{3} }{2} =3\pm \sqrt{3}$
__+__(3-√3)___-__(3+√3)__+___>

Аналогично решим и другое неравенство.
 $x^2+8x+8\ \textgreater \ 0\\x^2+8x+8=0\\ D=b^2-4ac=64-32=32;\\ \\ x_3_,_4= \dfrac{-8\pm4 \sqrt{2} }{2} =-4\pm2 \sqrt{2}$
__+__(-4-2√2)_____-___(-4+2√2)____+____


Запишем область определения функции:
 $D(f)=(-8;-7)\cup(-7;-4-2 \sqrt{2} )\cup(-4+2 \sqrt{2} ;3- \sqrt{3} )\cup\\ \\ \cup(3+ \sqrt{3} ;5)\cup(5;6)$


Приравниваем функцию к нулю.
 $f(x)=0;\,\,\,\log_{x+8}(x^2-6x+6)\log_{6-x}(x^2+8x+8)=0$
Произведение равно нулю, значит:
1)
      $\log_{x+8}(x^2-6x+6)=0$
По свойству логарифмов:
          $\log_{x+8}(x^2-6x+6)=\log_{x+8}1\\ x^2-6x+6=1\\ x^2-6x+5=0$
По т. Виета: $x_1=1;\,\,\,\,x_2=5$

2)
  $\log_{6-x}(x^2+8x+8)=0\\ \log_{6-x}(x^2+8x+8)=\log_{6-x}1\\ x^2+8x+8=1\\ x^2+8x+7=0$
По т. Виета: $x_1=-1;\,\,\, x_2=-7$


Решив с учетом ОДЗ, имеем вот такой ответ:

$x \in (-8;-4-2 \sqrt{2} )\cup(2 \sqrt{2} -4;-1]\cup[1;3- \sqrt{3} )\cup(3+\sqrt{3} ;5)\cup(5;6).$