Question

тело массой m=0,3 кг, прикреплённое к пружину жесткостью 18,33 H/м, совершает колебания с амплитудой 1 см. Найти, при каком смещении тела от положения равновесия его ускорение равно 0.3 м/с^2, и определить максимальное значение скорости тела

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением колебаний маятника:

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0, \]

где: - \(m\) - масса тела (0.3 кг), - \(k\) - жесткость пружины (18.33 H/м), - \(x\) - смещение от положения равновесия.

У нас заданы начальные условия: амплитуда колебаний \(A = 1\) см (переведем в метры \(A = 0.01 м\)), искомое ускорение \(a = 0.3 м/с^2\).

Решим уравнение колебаний. Предположим решение в виде \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\), где \(\omega\) - угловая частота, \(\phi\) - начальная фаза.

Производные: \[ \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi), \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi). \]

Подставим это в уравнение колебаний:

\[ -mA\omega^2 \cos(\omega t + \phi) + kA \cos(\omega t + \phi) = 0. \]

Сократим на \(A\) и перегруппируем:

\[ -m\omega^2 + k = 0. \]

Отсюда найдем угловую частоту \(\omega\):

\[ \omega^2 = \frac{k}{m}. \]

Теперь найдем значение \(\omega\):

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. \]

Подставим известные значения:

\[ \omega = \sqrt{\frac{18.33}{0.3}} \approx 6.04 \, \text{рад/с}. \]

Теперь мы можем найти максимальную скорость тела. Из формулы связи амплитуды и максимальной скорости для гармонических колебаний:

\[ v_{\text{max}} = A \omega. \]

Подставим значения:

\[ v_{\text{max}} = 0.01 \times 6.04 \approx 0.0604 \, \text{м/с}. \]

Теперь определим, при каком смещении от положения равновесия ускорение тела равно \(0.3 \, \text{м/с}^2\). Для этого воспользуемся уравнением колебаний и найдем значение \(x\):

\[ -m\omega^2 \cos(\omega t + \phi) + k \cos(\omega t + \phi) = 0. \]

Подставим известные значения:

\[ -0.3 \times 6.04^2 \cos(\omega t + \phi) + 18.33 \cos(\omega t + \phi) = 0. \]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(x\), при котором ускорение тела равно \(0.3 \, \text{м/с}^2\).