Question

Школьники, отдохнувшие в летнем лагере, возвращались домой в Санкт-Петербург. Автобусы ехали со скоростью v1=80км/ч. Пошел дождь, и водители снизили скорость до v2=60км/ч. Когда дождь кончился, автобусы вновь поехали с прежней скоростью и въехали в Санкт-Петербург на 10минут позже, чем было запланировано. Сколько времени шел дождь?

Answer 1

Давайте обозначим время в пути до возвращения в Санкт-Петербург как \( t \). Тогда время возвращения без учета дождя было бы \( t_0 = t - 10 \) минут.

Когда дождь начался, автобусы снизили скорость до \( v_2 = 60 \) км/ч. Это означает, что они двигались с этой скоростью в течение какого-то времени. Давайте обозначим это время как \( t_d \). Тогда расстояние, пройденное во время дождя, можно выразить как \( d_d = v_2 \cdot t_d \).

Когда дождь закончился, автобусы снова увеличили скорость до \( v_1 = 80 \) км/ч и завершили оставшуюся часть пути. Расстояние, пройденное после дождя, можно выразить как \( d_1 = v_1 \cdot (t - t_d) \).

Общее расстояние пути можно выразить как сумму расстояний до, во время и после дождя:

\[ d_{\text{общ}} = d_1 + d_d \]

Также, мы знаем, что расстояние равно произведению времени на скорость:

\[ d_{\text{общ}} = v_1 \cdot t \]

Теперь у нас есть уравнение для общего расстояния. Подставим выражения для \( d_1 \) и \( d_d \):

\[ v_1 \cdot t = v_1 \cdot (t - t_d) + v_2 \cdot t_d \]

Разрешим это уравнение относительно \( t_d \):

\[ v_1 \cdot t = v_1 \cdot t - v_1 \cdot t_d + v_2 \cdot t_d \]

\[ v_1 \cdot t_d = v_2 \cdot t_d \]

\[ t_d = \frac{v_1}{v_2} \cdot t_d \]

Теперь мы знаем, что \( t_d \) равно отношению скорости до дождя (\( v_1 \)) к скорости во время дождя (\( v_2 \)) умноженному на общее время в пути (\( t \)).

Мы знаем, что автобусы двигались со скоростью во время дождя (\( v_2 \)) в течение какого-то времени (\( t_d \)). Таким образом, время в пути до дождя (\( t_0 \)) можно выразить как:

\[ t_0 = t - t_d \]

Подставим \( t_d \) в это уравнение:

\[ t_0 = t - \frac{v_1}{v_2} \cdot t \]

\[ t_0 = t \left(1 - \frac{v_1}{v_2}\right) \]

Теперь у нас есть выражение для времени в пути до дождя. Мы также знаем, что это время на 10 минут больше, чем было запланировано (\( t_0 = t - 10 \)). Подставим это в уравнение:

\[ t - 10 = t \left(1 - \frac{v_1}{v_2}\right) \]

Разрешим это уравнение относительно \( t \) и найдем, сколько времени шел дождь.