Question

132. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите радиусом 2*107 м. Он движется со скоростью (G = 6.67*10 -11 Н•м2/кг2; М3 = 6*1024 кг) А) =4,5 км/с В) =4,5 м/с С) 9 км/с D) =90 м/с Е) = 22,5 км/с

Answer 1

Для решения задачи, используем законы сохранения энергии и момента импульса.

1. Закон сохранения энергии: \[ E = T + U, \]

где \(E\) - полная механическая энергия, \(T\) - кинетическая энергия, \(U\) - потенциальная энергия.

Кинетическая энергия космического корабля: \[ T = \frac{1}{2} m v^2, \]

Потенциальная энергия в гравитационном поле Земли: \[ U = -\frac{G M m}{r}, \]

где \(m\) - масса корабля, \(v\) - его скорость, \(G\) - постоянная гравитации, \(M\) - масса Земли, \(r\) - расстояние от центра Земли до корабля.

2. Закон сохранения момента импульса: \[ L = m \cdot r \cdot v, \]

где \(L\) - момент импульса, \(r\) - радиус орбиты.

Сначала выразим скорость корабля через известные величины:

\[ E = T + U = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{r} \]

\[ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{r} + E \]

\[ v^2 = \frac{2 G M}{r} + \frac{2E}{m} \]

\[ v = \sqrt{\frac{2 G M}{r} + \frac{2E}{m}} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.67 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{2 \times 10^7} + \frac{2 \times 10^7}{6 \times 10^4}} \]

\[ v \approx \sqrt{1.334 \times 10^{13} + 333333.33} \]

\[ v \approx \sqrt{1.334 \times 10^{13} + 3.333 \times 10^5} \]

\[ v \approx \sqrt{1.334 \times 10^{13} + 3.333 \times 10^5} \]

\[ v \approx \sqrt{1.334 \times 10^{13}} \]

\[ v \approx 1.155 \times 10^6 \, \text{м/с} \]

Ответ: скорость космического корабля примерно 1.155 м/с. По вариантам ответа это соответствует варианту C) 9 км/с.