Question

Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=Asin ωt y=Asin 2ωt. Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.

Answer 1

Из предоставленных уравнений можно определить уравнение траектории точки, которая участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Уравнение траектории можно получить, выразив координаты x и y через параметр времени t.

Уравнение x = Asin(ωt) описывает гармоническое колебание точки в направлении x, где A - амплитуда колебания, ω - угловая частота, t - время.

Уравнение y = Asin(2ωt) описывает гармоническое колебание точки в направлении y, где A - амплитуда колебания, 2ω - угловая частота (в два раза больше, чем у первого колебания), t - время.

Чтобы получить уравнение траектории, мы можем выразить x и y через t и затем исключить t из уравнений. Для этого умножим первое уравнение на 2:

2x = 2Asin(ωt)

Теперь мы можем сложить это уравнение с уравнением y = Asin(2ωt):

2x + y = 2Asin(ωt) + Asin(2ωt)

Таким образом, уравнение траектории точки будет:

2x + y = 2Asin(ωt) + Asin(2ωt)

Чтобы вычертить траекторию точки, мы можем построить график этого уравнения на плоскости x-y. На графике будут отображены все возможные положения точки во время колебаний. Масштаб графика можно выбрать в соответствии с амплитудой колебаний и периодом.

Пример графика траектории точки:


На графике представлена траектория точки, описываемая уравнением 2x + y = 2Asin(ωt) + Asin(2ωt). Масштаб графика выбран для наглядности, и он может отличаться в реальных условиях.