Question

Лестницу прислонили к гладкой вертикальной стене. Каким должен быть минимальный угол наклона к горизонту, чтобы она оставалось в равновесие? Коэффициент трения лестницы о пол равен 0,5.

Answer 1

Для того чтобы лестница оставалась в равновесии, сила трения между лестницей и полом должна предотвращать скольжение лестницы вниз по полу. Мы можем использовать условие равновесия вдоль поверхности лестницы.

На лестницу действуют две силы - вес \( m \cdot g \) (где \( m \) - масса лестницы, а \( g \) - ускорение свободного падения) и сила трения \( F_{\text{тр}} \), направленная вверх вдоль поверхности лестницы.

Сила трения равна произведению коэффициента трения \( \mu \) на нормальную силу, которая равна весу компонента, перпендикулярному поверхности лестницы:

\[ F_{\text{тр}} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) \]

где \( \theta \) - угол наклона лестницы к горизонту. Сила трения должна равняться проекции веса лестницы вдоль поверхности лестницы:

\[ F_{\text{тр}} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) \]

Приравниваем эти две силы:

\[ \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) = m \cdot g \cdot \sin(\theta) \]

Масса \( m \) сокращается:

\[ \mu \cdot g \cdot \cos(\theta) = g \cdot \sin(\theta) \]

Разделим обе стороны на \( g \):

\[ \mu \cdot \cos(\theta) = \sin(\theta) \]

Теперь выражаем \( \theta \):

\[ \tan(\theta) = \mu \]

Таким образом, минимальный угол наклона \( \theta \) к горизонту, чтобы лестница оставалась в равновесии, равен арктангенту коэффициента трения \( \mu \):

\[ \theta = \arctan(\mu) \]

В данном случае, где \( \mu = 0,5 \):

\[ \theta = \arctan(0,5) \]

Используя калькулятор, мы находим:

\[ \theta \approx 26,57^\circ \]

Таким образом, минимальный угол наклона к горизонту должен быть примерно \( 26,57^\circ \), чтобы лестница оставалась в равновесии.