Question

10 баллов за подробный ответ Тележка, масса которой 120 кг, движется по рельсам без трения со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30° к направлению её движения в горизонтальной плоскости. Скорость тележки уменьшается при этом до 5 м/с. Какова была скорость человека во время прыжка относительно Земли?

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Изначально у нас есть тележка массой \(M_{\text{тележки}} = 120 \, \text{кг}\), движущаяся без трения по рельсам со скоростью \(v_{\text{нач}} = 6 \, \text{м/с}\), и человек массой \(m_{\text{чел}} = 80 \, \text{кг}\), который отскакивает под углом \(30^\circ\) к направлению движения тележки.

Перед прыжком скорость тележки равна \(v_{\text{нач}} = 6 \, \text{м/с}\). После прыжка, скорость тележки уменьшилась до \(v_{\text{кон}} = 5 \, \text{м/с}\).

Используем закон сохранения импульса для системы тележка + человек:

\[M_{\text{тележки}} \cdot v_{\text{нач}} = (M_{\text{тележки}} + m_{\text{чел}}) \cdot v_{\text{кон}}\]

Подставляем известные значения:

\[120 \, \text{кг} \times 6 \, \text{м/с} = (120 \, \text{кг} + 80 \, \text{кг}) \times 5 \, \text{м/с}\]

Упрощаем уравнение:

\[720 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 200 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}\]

Имеем равенство, которое показывает сохранение импульса в системе. Теперь для определения скорости человека относительно Земли в момент прыжка используем составляющие скорости.

Скорость тележки по направлению прыжка до прыжка:

\[v_{\text{тележки, х}} = v_{\text{нач}} \cdot \cos(30^\circ) = 6 \, \text{м/с} \cdot \cos(30^\circ)\] \[v_{\text{тележки, х}} = 6 \, \text{м/с} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{м/с}\]

Скорость человека относительно Земли можно выразить как разность скоростей тележки и скорости прыжка человека относительно тележки:

\[v_{\text{чел, Земля}} = v_{\text{тележки, х}} - v_{\text{чел, тележка}}\]

Найдем скорость прыжка человека относительно тележки. Используем закон косинусов для нахождения проекции скорости прыжка человека на направление движения тележки:

\[v_{\text{чел, тележка}} = v_{\text{прыжка}} \cdot \cos(30^\circ)\] \[v_{\text{чел, тележка}} = v_{\text{прыжка}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь подставим значения и найдем скорость прыжка человека относительно Земли:

\[v_{\text{чел, Земля}} = 3\sqrt{3} \, \text{м/с} - v_{\text{прыжка}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Изначально у нас было:

\[120 \, \text{кг} \times 6 \, \text{м/с} = (120 \, \text{кг} + 80 \, \text{кг}) \times v_{\text{прыжка}}\] \[720 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 200 \, \text{кг} \cdot v_{\text{прыжка}}\] \[v_{\text{прыжка}} = \frac{720 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{200 \, \text{кг}} = 3.6 \, \text{м/с}\]

Теперь мы можем найти скорость человека относительно Земли в момент прыжка:

\[v_{\text{чел, Земля}} = 3\sqrt{3} \, \text{м/с} - 3.6 \, \text{м/с} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[v_{\text{чел, Земля}} = 3\sqrt{3} \, \text{м/с} - 1.8 \, \text{м/с}\] \[v_{\text{чел, Земля}} = 1.8\sqrt{3} \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость человека относительно Земли в момент прыжка составляет \(1.8\sqrt{3} \, \text{м/с}\).