Question

С высоты h=6 м без начальной скорости начинает соскальзывать шайба. Оказавшись на гладком столе, она наезжает на первоначально неподвижную гладкую горку и поднимается по ее поверхности. На какую максимальную высоту поднимется по горке шайба, если ее масса в два раза меньше массы горки? Ответ выразить в м, округлив до целых.

Answer 1

После того, как шайба съедет с неподвижного возвышения (считаем, по умолчанию, что с гладкого), она наберёт некоторый импульс p.

Когда шайба станет заезжать на гладкую горку, горизонтальная составляющая её давления на горку всё время будет направлена в сторону горизонтальной составляющей её скорости, а реакция горки – по третьему закону Ньютона в противоположном направлении.

Стало быть, горка всё время будет разгоняться, а шайба всё время будет замедляться. Когда горизонтальные составляющие их скоростей сравняются, то шайба и горка на мгновение замрут друг относительно друга. Далее шайба начнёт обратно соскальзывать с подвижной горки. Значит момент, когда подвижная горка и шайба двигаются, как единое целое – и есть момент максимального подъёма шайбы на подвижной горке.

В любой момент времени, суммарный горизонтальный импульс будет наследоваться и оставаться равным p. В момент замирания шайбы на подвижной горке, т.е. когда шайба и горка будут двигаться как единое целое, полный импульс шайбы и горки будет равен p.

На возвышении полная механическая энергия подвижных частей системы равна потенциальной энергии шайбы:

Eмo = mgh ;

Сразу после спуска шайбы с возвышения:

Eкo = mv²/2 = (mv)²/[2m] = p²/[2m] = Eмo = mgh ;

p² = 2m²gh ;

Когда шайба и горка движутся, как единое целое, с учётом того, что масса горки вдвое больше массы шайбы:

Eк = (m+2m)V²/2 = (m+2m)²V²/[2(m+2m)] = p²/[6m] = 2m²gh/[6m] = mgh/3

Полная механическая энергия системы должна сохраниться, а поэтому конечная потенциальная энергия должна быть равна:

Eмo = Eк + Eп ;

Eп = Eмo – Eк = mgh – mgh/3 ;

mgH = Eмo – Eк = [2/3]mgh ;

H = [2/3]h ≈ 4 м .


Короче, можно сказать так: учитывая, что импульс сохраняется, а кинетическая энергия пропорциональна квадрату неизменного импульса, делённому на массу – то, поскольку масса возрастает втрое, то, значит, кинетическая энергия уменьшается втрое. Таким образом, треть начальной потенциальной энергии перейдёт в кинетическую, а 2/3 опять вернуться в потенциальную, что как раз соответствует 2/3 начальной высоты (от 6 м), а значит ответ 4 м.