Question

Смешали воздух объёмом 5м³ и относительной влажностью 22% при температуре 15°С с воздухом с относительной влажностью 46% при температуре 28°С.Определитель относительную влажность смеси, если ее объём 8м³. *** Перепечатка (повтор) из Мякишева. Для точного решения без пренебрежений. Аааааа... Опять это ограничение в 5000 символов...

Answer 1

Решим задачу строго так, как она поставлена, без пренебрежений по отношению к изменению плотности воздуха, в модели идеального газа, которая хорошо оправдывается именно при нормальных условиях в диапазоне комнатных температур, используя хорошо известные молярные: изобарную ( $P = const$ ) среднюю теплоёмкость сухих компонент воздуха, равную $c_{p-cyx} \approx \frac{7}{2}R$ , и изобарную теплоёмкость пара, равную $c_{p-nap} \approx 4R$ , поскольку сухая компонента воздуха преимущественно двухатомная, а пар – трёхатомный.

Обозначим:

$\psi$ – количество вещества СУХИХ КОМПОНЕНТ ВОЗДУХА.

$\mu \approx 18$ г/моль $, \nu , \rho$ и $\eta$ – молярная масса, количество вещества, парциальная плотность ВОДЯНОГО ПАРА и относительная влажность.

$\rho_o$ – парциальная плотность НАСЫЩЕННОГО водяного пара.

Индексы [5] – соответствуют температуре $t_5 \approx 15^oC \approx T_5 \approx 288.15 K .$

Индексы [8] – температуре $t_8 \approx 28^oC \approx T_8 \approx 301.15 K .$

Безиндексные параметры относятся к смеси и конечной температуре, либо неизменны.

Для 1-ой порции воздуха можно записать:

$PV_5 = (\psi_5+\nu_5)RT_5 ;$

$\psi_5 + \nu_5 = \frac{PV_5}{RT_5} ;$

Для второй:

$\psi_8 + \nu_8 = \frac{PV_8}{RT_8} ;$

Парциальную плотность пара можно найти непосредственно или через относительную влажность, а через двойное равенство можно выразить и количество вещества:

$\rho_5 = \frac{ \nu_5 \mu }{V_5} = \eta_5 \rho_{o5} ;$

$\nu_5 = \frac{ V_5 \eta_5 \rho_{o5} }{\mu} ;$

$\nu_8 = \frac{ V_8 \eta_8 \rho_{o8} }{\mu} ;$

Запишем теперь уравнений теплового баланса для обеих порций воздуха через молярные изобарные теплоёмкости:

$\Big( \frac{7}{2}R \psi_5 + 4R \nu_5 \Big) (T-T_5) + \Big( \frac{7}{2}R \psi_8 + 4R \nu_8 \Big) (T-T_8) = 0 ;$

$\Big( \frac{7}{2} ( \psi_5 + \nu_5 ) + \frac{1}{2} \nu_5 ) (T-T_5) + ( \frac{7}{2} ( \psi_8 + \nu_8 ) + \frac{1}{2} \nu_8 \Big) (T-T_8) = 0 ;$

$\Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 \Big) (T-T_5) + \Big( 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) (T-T_8) = 0 ;$

$\Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 + 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) T = \Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 \Big) T_5 + \Big( 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) T_8 ;$

Перемножим это уравнение на $PV = RT( \psi_5 + \nu_5 + \psi_8 + \nu_8 ) ;$

$\frac{PV}{R} \Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 + 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) =\\\\= ( \psi_5 + \nu_5 + \psi_8 + \nu_8 ) \Big[ \Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 \Big) T_5 + \Big( 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) T_8 \Big] ;$

Подставим сюда $\psi_5 , \nu_5 , \psi_8$ и $\nu_8 :$

$V \Big( 7\mu P \Big( \frac{V_5}{T_5} + \frac{V_8}{T_8} \Big) + R(V_5 \eta_5 \rho_{o5} + V_8 \eta_8 \rho_{o8} ) \Big) =\\\\= \Big( \frac{V_5}{T_5} + \frac{V_8}{T_8} \Big) \Big( 7 \mu P ( V_5 + V_8 ) + R ( T_5 V_5 \eta_5 \rho_{o5} + T_8 V_8 \eta_8 \rho_{o8} ) \Big) ;$

>>> продолжение на иллюстрациях >>>