Question

Тело бросили без начальной скорости с некоторой высоты так, что за последнюю секунду оно прошло половину пути. Найти начальную высоту.

Answer 1

Высота равна: h = gt²/2.

Если g = 10 м/с², то h = 5t².

На основе задания составляем уравнение: 5(t - 1)² = 5t²/2.

Сократим на 5 и раскроем квадрат.

2(t² - 2t + 1) = t².

Получаем квадратное уравнение:

t² - 4t + 2 = 0.  Д = 16 - 4*2 = 8.

t = (4 +-√8)/2 = 2 +- √2. Вариант с минусом меньше 1 отбрасываем.

Ответ: h = 10*(2 + √2)²/2 = 5*(6 + 4√2) = 30 + 20√2 ≈ 58,2843 м.

Answer 2

Понятно, это задача о свободном падении. Если тело брошено без начальной скорости, то его движение будет описываться уравнением свободного падения:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \]

где \( h \) - высота, \( g \) - ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.8 \, \text{м/с}^2 \) на поверхности Земли), \( t \) - время свободного падения.

Из условия задачи мы знаем, что за последнюю секунду тело прошло половину пути, то есть за \( t - 1 \) секунду тело прошло столько же, сколько за первые \( t \) секунд.

Пусть \( H \) - начальная высота. Тогда за время \( t - 1 \) секунду тело прошло расстояние \( H - \frac{1}{2} g (t - 1)^2 \), а за время \( t \) секунд - \( \frac{1}{2} H \).

Исходя из условия, \( H - \frac{1}{2} g (t - 1)^2 = \frac{1}{2} H \).

Мы также знаем, что \( h = \frac{1}{2} H \), так как за последнюю секунду тело прошло половину пути. Следовательно, \( h = \frac{1}{2} g (t - 1)^2 \).

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений. Используем уравнение для \( h \) и подставим его в уравнение для \( H \):

\[\frac{1}{2} g (t - 1)^2 = \frac{1}{2} H\] \[H - \frac{1}{2} g (t - 1)^2 = \frac{1}{2} H\]

Подставим выражение для \(H\) из второго уравнения в первое:

\[\frac{1}{2} g (t - 1)^2 = \frac{1}{2} \left(H - \frac{1}{2} g (t - 1)^2\right)\]

Упростим:

\[g (t - 1)^2 = H - \frac{1}{2} g (t - 1)^2\] \[2g (t - 1)^2 = 2H - g (t - 1)^2\] \[3g (t - 1)^2 = 2H\]

Теперь выразим \(H\):

\[H = \frac{3g (t - 1)^2}{2}\]

Это формула для начальной высоты \(H\). Вы можете подставить известные значения ускорения свободного падения \(g\) (приблизительно \(9.8 \, \text{м/с}^2\)) и время свободного падения \(t\) для решения задачи и получения начальной высоты \(H\).