Question

Даю 99 балов Камень бросили с крутого обрыва высоты h=10 м вверх под углом α=30° к горизонту со скоростью v0 =20 м/c. Найти полное время его полёта, если в точке падения на горизонтальную поверхность земли модуль вертикальной проекции скорости камня оказался равен вертикальной проекции скорости камня в момент броска? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. Известно, что при вертикальном падении с очень большой высоты установившаяся скорость этого камня равна Vуст=10м/c.

Answer 1

Если сила сопротивления пропорциональна скорости, то для установившейся скорости можно записать

$mg = kv_\infty\\k = mg/v_\infty$

Где k - коэффициент пропорциональности.


Теперь запишем 2 закон Ньютона для проекций ускорений камня на горизонтальную и вертикальную оси

$\displaystyle m\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = -kv_x\\\\ m\frac{\Delta v_y}{\Delta t} = -mg-kv_y$

Домножая все на ∆t получим

$\displaystyle \Delta v_x = -\frac{k}{m}\Delta x\\\\ \Delta v_y = -g\Delta t - \frac{k}{m}\Delta y$

В принципе, все маленькие дельты можно уже просуммировать. Первая строчка, кстати, не нужна для решения задачи. Для полных приращений мы будем иметь

$\displaystyle (-v_0\sin\alpha-v_0\sin\alpha) = -gT - \frac{k}{m}(-h-0)\\\\ T = \frac{kh}{mg}+2\frac{v_0}{g}\sin\alpha = \frac{h}{v_\infty}+\frac{2v_0\sin\alpha}{g} = 3\text{ c.}$