Question

Опредетите сопротивление R(ab) между точкамм A и B проволочной сетки, показанной на рисунке. Сопротивление каждого из проводников(вне зависимости от его длины), из которых спаяна сетка = R. Места спайки проводников обозначены точками. В центре сетки электрический контакт отсутствует.

Answer 1

Смотрите иллюстрацию к решению задачи.

Обозначим ток через нижний проводник, как:    $I \ .$

Обозначим ток между точками D и E, как:    $x \ ,$    ток между точками C и F, как:    $y \ ,$    а ток между точками А(B) и E(D), как:    $z \ .$

Равенство последних токов следует из симметрии.

Из точки D вытекают токи    $x$    и    $z \ ,$    а значит и втекает ток    $x+z \ .$

Из точки C вытекают токи    $x+z$    и    $y \ ,$    а значит и втекает ток    $x+y+z \ .$

Для разности потенциалов между точками A и B можно записать уравнение:

$(x+y+z)R + yR + (x+y+z)R = IR \ ;$

Для разности потенциалов между точками C и F можно записать уравнение:

$(x+z)R + xR + (x+z)R = yR \ ;$

Для разности потенциалов между точками A и E можно записать уравнение:

$(x+y+z)R + (x+z)R + xR = zR \ ;$

Получаем три уравнения:

$2x + 3y + 2z = I \ ;$
$3x + 2z - y = 0 \ ;$
$3x + y + z = 0 \ ;$

Вычтем из первого второе:

$4y - x = I \ ;$

Вычтем из удвоенного последнего второе:

$3x + 3y = 0 \ ;$

Итак:    $x =- y \ ;$

$5y = I \ ;$

$y = \frac{I}{5} \ ;$

$x = - \frac{I}{5} \ ;$

$z = \frac{2}{5}I \ ;$

А значит, из точки A в совокупности вытекает ток:

$I_A = I + z + x+y+z = \frac{9}{5} I \ ,$

Так как будто бы между точками A и B подключено сопротивления в    $\frac{9}{5}$    раз меньшее, чем    $R \ ,$    а это как раз и определяет эквивалентное сопротивление сетки:

$R_{AB} = R : \frac{9}{5} = \frac{5}{9} R \ ;$

ОТВЕТ:    $R_{AB} = \frac{5}{9} R \ .$