Question

Допустим, что в Вашем распоряжении четыре резистора с  сопротивлением  30 Ом каждый. Как следует соединить эти резисторы,  чтобы сопротивление полученной цепочки было равно: а)  50 Ом, б) 18 Ом? Ответ подкрепите схемой соединения и вычислением эквивалентного сопротивления в каждом случае.

Answer 1

А) для этого нужно параллельно к одному резистору подключить участок, состоящий из двух последовательно соединённых резисторов, а затем последовательно с группой из этих трёх резисторов подключить четвёртый резистор. Тогда эквивалентное сопротивление участка из двух последовательно включённых сопротивлений Rэ1=R+R=30+30=60 Ом, а эквивалентное сопротивление участка из трёх сопротивлений Rэ2=R*Rэ1/(R+Rэ1)=30*60/(30+60)=1800/90=20 Ом. Тогда общее эквивалентное сопротивление Rэ=Rэ2+R=20+30=50 Ом.  

б) для этого нужно к одному из резистору последовательно подключить участок, состоящий из двух параллельно соединённых резисторов, а затем параллельно группе из этих трёх резисторов подключить четвёртый резистор. Тогда эквивалентное сопротивление участка из двух сопротивлений Rэ1=R*R/(R+R)=30*30/(30+30)=15 Ом, а эквивалентное сопротивление участка из трёх сопротивлений Rэ2=R+Rэ1=30+15=45 Ом. Тогда общее эквивалентное сопротивление Rэ=R*Rэ2/(R+Rэ2)=30*45/(30+45)=1350/75=18 Ом.  

Answer 2

Задача из разряда "противных". Есть много вариантов и их надо просчитывать, чтобы выбрать нужные. Помогут математика и логика, но прежде всего, используем физику.

При последовательном соединении резисторов R₁ и R₂, общее сопротивление R = R₁+ R₂
При параллельном соединении резисторов R₁ и R₂, общее сопротивление может быть найдено по формуле R = (R₁ × R₂) / (R₁+ R₂).

Анализ этих формул дает полезный вывод: при последовательном соединении общее (эквивалентное) сопротивление будет больше большего из сопротивлений резисторов, а при параллельном - меньше меньшего. Это нужно помнить всегда.

1) Ищем способ получить 50 Ом. Сопротивление каждого резистора r=30 Ом. Случай "больше большего", следовательно в соединении будет присутствовать последовательный участок. Рассмотрим вариант из одного резистора 30 Ом, последовательно с которым включено некоторое соединение с эквивалентным сопротивлением 50-30=20 Ом. 20 - это "меньше меньшего", следовательно, будет присутствовать параллельное соединение. Три резистора в параллельном соединении дадут r/3 = 30/3=10 Ом и этого мало, следовательно, в параллельном соединении будут один резистор и еще два последовательно (а больше никак). Проверим. Два последовательно - это 2r, а параллельно подключенное r даст 2r²/(r+2r) = 2r/3 = 20 Ом. Отлично.

2) Как получить 18 Ом? Это случай "меньше меньшего", следовательно соединение будет параллельным. Допустим, в нем будет один резистор r и группа из остальных трех резисторов. Тогда её эквивалентное сопротивление находится из уравнения.
r×R/(r+R)=18; r=30 ⇒ 30R/(R+30)=18 ⇒ R=45 (Ом).
45 - это "больше большего". Это r=30 плюс r/2=15. Превосходно!
Резистор и последовательно с ним два параллельно включенных резистора.

Answer 3

Для получения цепочки сопротивлений, равной 50 Ом, можно соединить резисторы следующим образом:

1. Соедините два резистора параллельно, чтобы получить эквивалентное сопротивление: - Резистор 1 и резистор 2 параллельно: 15 Ом.

2. Соедините полученное эквивалентное сопротивление с двумя оставшимися резисторами последовательно: - Эквивалентное сопротивление (резистор 1 и резистор 2) и резистор 3 последовательно: 45 Ом. - Эквивалентное сопротивление (резистор 1, резистор 2 и резистор 3) и резистор 4 последовательно: 50 Ом.

Таким образом, для получения цепочки сопротивлений, равной 50 Ом, нужно соединить два резистора параллельно и затем последовательно соединить полученное эквивалентное сопротивление с двумя оставшимися резисторами.

Для получения цепочки сопротивлений, равной 18 Ом, можно соединить резисторы следующим образом:

1. Соедините два резистора последовательно, чтобы получить эквивалентное сопротивление: - Резистор 1 и резистор 2 последовательно: 60 Ом.

2. Соедините полученное эквивалентное сопротивление с двумя оставшимися резисторами параллельно: - Эквивалентное сопротивление (резистор 1 и резистор 2) и резистор 3 параллельно: 20 Ом. - Эквивалентное сопротивление (резистор 1, резистор 2 и резистор 3) и резистор 4 параллельно: 18 Ом.

Таким образом, для получения цепочки сопротивлений, равной 18 Ом, нужно соединить два резистора последовательно и затем параллельно соединить полученное эквивалентное сопротивление с двумя оставшимися резисторами.

Вот схемы соединения для каждого случая:

Сопротивление 50 Ом:

``` _________ | | --| R1 = 30 |-- | | --| R2 = 30 |-- |_________| | --| R3 = 30 |-- |_________| | --| R4 = 30 |-- ```

Сопротивление 18 Ом:

``` _________ | | --| R1 = 30 |-- | | --| R2 = 30 |-- |_________| | --| R3 = 30 |-- |_________| | --| R4 = 30 |-- ```

Пожалуйста, обратите внимание, что в каждом случае я использовал предоставленные значения сопротивления резисторов и вычислил эквивалентное сопротивление с помощью соответствующих формул.