Question

Цилиндрический сосуд высотой 28 см заполнен водой и керосином. Определите давление жидкостей на дно сосуда если масса воды в сосуде вдвое меньше массы керосина. Плотность керосина равна 800кг/м³ плотность воды 1000кг/м³ .Ускорение свободного падения принять равным 10н/кг

Answer 1

Дано:
ρ₁ = 800 кг/м³
ρ₂  = 1000 кг/м³
h = 28 см
V₁ - объём керосина
V₂ - объём воды
m₁ - масса керосина
m₂ - масса воды
m₁ = 2*m₂ 
Найти:
p-?
Решение:
$\displaystyle p = \frac{F}{S} = \frac{F_1 + F_2}{S}$
$\displaystyle F_1, \; F_2$ - это сила тяжести керосина и воды соответственно. 
Объем цилиндрического сосуда равен: V = Sh. 
Объём керосина в это цилиндрическом сосуде будет равен: V₁ = Sh₁
Объём воды будет равен: V₂ = Sh₂
Выразим S из первого и из второго объём и приравняем:
$\displaystyle \frac{V_1}{h_1} = \frac{V_2}{h_2} \\ \\ \\ \frac{V_1}{V_2} = \frac{h_1}{h_2}$
Сам по себе объём - это $\frac{m}{\rho}$, то есть масса делённая плотность вещества. Подставим это в отношение объёмов.
$\displaystyle \frac{ \frac{m_1}{\rho_1} }{ \frac{m_2}{\rho_2} } = \frac{h_1}{h_2}$
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2} = \frac{m_1\rho_2}{m_2\rho_1} \bigg|_{m_1 = 2m_2 } \\ \\ \\ \frac{h_1}{h_2} = \frac{2m_2\rho_2}{m_2\rho_1} = 2 \frac{\rho_2}{\rho_1}$
Общая высота сосуда h складывается из h₁ и h₂, то есть h = h₁ + h₂. Отсюда h₁ = h - h₂ . Подставим это в формулу:
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2} = \frac{h-h_2}{h_2} = \frac{h}{h_2} -1 = 2 \frac{\rho_2}{\rho_1} \\ \\ \frac{h}{h_2} = 2 \frac{\rho_2}{\rho_1} +1 \\ \\ h_2 = \frac{h}{2 \frac{\rho_2}{\rho_1} +1} = \frac{28}{2 \frac{1000}{800}+1 } = \frac{28}{2*1.25+1} = \frac{28}{3.5} = 8$
Мы получили, что высота уровня воды h₂ = 8 см. Отсюда находим высоту жидкости керосина: h₂=28 - 8 = 20 см.
Итак, теперь вернёмся всё-таки к давлению:
$\displaystyle p = \frac{F_1+F_2}{S} = \frac{F_1}{S} + \frac{F_2}{S} = \frac{m_1g}{ \frac{V_1}{h_1} } + \frac{m_2g}{ \frac{V}{h_2} } = \frac{V_1\rho_1g}{\frac{V_1}{h_1}} + \frac{V_2\rho_2g}{\frac{V_2}{h_2}} = \\ \\ \frac{V_1\rho_1g*h_1}{V_1} + \frac{V_2\rho_2g*h_2}{V_2} = g\rho_1h_1 + g\rho_2h_2$
У нас получилось, что общее давление будет равно сумме давлений этих жидкостей. Мы это доказали и заодно ещё и вывели формулу p = ρgh .
Подходим к финалу:
$p = p_1 + p_2 = g\rho_1h_1 + g\rho_2h_2 = g(\rho_1h_1+\rho_2h_2) = \\ \\ 10*(800*20 + 1000*8) = 240\;000$ 
p = 240 000 Па = 240 кПа
Ответ:
p = 240кПа

Answer 2

Для определения давления жидкостей на дно сосуда, воспользуемся формулой давления на глубине в жидкости:

P = ρ * g * h,

где P - давление, ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, h - высота столба жидкости.

Пусть масса керосина в сосуде равна m, тогда масса воды будет равна 0.5m, так как масса воды в два раза меньше массы керосина. Тогда:

m = ρ_к * V_к, 0.5m = ρ_в * V_в,

где ρ_к - плотность керосина, ρ_в - плотность воды, V_к - объем керосина, V_в - объем воды.

Так как V = m / ρ, где V - объем, m - масса, ρ - плотность, то:

V_к = m / ρ_к, V_в = 0.5m / ρ_в.

Так как V_к + V_в = V, где V - объем сосуда, то:

m / ρ_к + 0.5m / ρ_в = V.

Выразим m через V:

m = V / (1/ρ_к + 0.5/ρ_в).

Теперь можем выразить высоту столба керосина и воды через m:

h_к = V_к / S = m / (ρ_к * S), h_в = V_в / S = 0.5m / (ρ_в * S),

где S - площадь основания сосуда.

Теперь можем определить давление каждой жидкости на дно сосуда:

P_к = ρ_к * g * h_к, P_в = ρ_в * g * h_в.

Подставим значения плотностей и ускорения свободного падения:

P_к = 800 * 10 * (m / (800 * S)), P_в = 1000 * 10 * (0.5m / (1000 * S)).

Упростим выражения:

P_к = 10 * m / S, P_в = 5 * m / S.

Таким образом, давление керосина на дно сосуда будет равно 10 * m / S, а давление воды - 5 * m / S.