Question

Спутник планеты Марс Фобос обращается по орбите радиусом 9,38*10^6 м с периодом 0,319 земных суток. Определите массу планеты Марс.

Answer 1

R=9380 км=9380000 м 
T=0,319 суток=7 ч 39 мин=26604 с
2пR/T=sqrt(GM/R) 
Избавляемся от корня: 
(4п^2*R^2)/T^2=GM/R 
M=(4п^2*R^3)/(G*T^2)=(4*9,86*8,3*10^20)/(6,67*10-11*707,8*10^6)=6,5*10^23 кг

Answer 2

Для определения массы планеты Марс можно воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит:

F = G * (m1 * m2) / r^2,

где F - сила гравитационного взаимодействия между двумя телами, G - гравитационная постоянная (приближенное значение 6,674 * 10^-11 Н * м^2 / кг^2), m1 и m2 - массы двух тел, r - расстояние между телами.

В случае с Фобосом и Марсом дано значение радиуса орбиты Фобоса - 9,38 * 10^6 м, а также период обращения Фобоса - 0,319 земных суток. Так как Фобос обращается по орбите вокруг Марса, то можно сделать предположение, что масса Фобоса много ниже массы планеты Марс, и можно считать, что Марс является одним из тел в законе всемирного тяготения.

Масса Фобоса можно считать малой по сравнению с массой Марса, поэтому можно пренебречь ею при расчетах и записать закон всемирного тяготения следующим образом:

F = G * (m1 * m2) / r^2, F = m * a,

где m - масса Марса, a - ускорение свободного падения на Фобосе.

Ускорение свободного падения на Фобосе можно выразить через период его обращения и расстояние до центра планеты:

a = (4 * π^2 * r) / T^2,

где T - период обращения Фобоса.

Учитывая это, можно записать:

G * (m * m_fobos) / r^2 = (4 * π^2 * r) / T^2,

где m_fobos - масса Фобоса.

Мы предположили, что масса Фобоса много меньше массы Марса (m_fobos << m), поэтому можно пренебречь ей, и тогда:

G * m / r^2 = (4 * π^2 * r) / T^2.

Подставляя значения радиуса орбиты Фобоса (r = 9,38 * 10^6 м) и периода обращения Фобоса (T = 0,319 земных суток = 0,319 * 24 * 3600 секунд), получаем:

G * m / (9,38 * 10^6)^2 = (4 * π^2 * 9,38 * 10^6) / (0,319 * 24 * 3600)^2.

Теперь, зная значение гравитационной постоянной G, можно решить данное уравнение относительно m (массы Марса). Но для точного результата предлагается использовать более точные значения периода обращения Фобоса и радиуса его орбиты.