Question

Материальная точка массой m = 1,0 кг движется вдоль оси x под действием периодической силы F = F0 cosωt (F0 = 10 Н, ω = 1,0 рад/с), также направленной вдоль оси x. Определить положение точки в момент времени t = 3,14 с, если при t = 0 ее координата x = 0 и скорость v = 0

Answer 1

F=F₀ cos ωt ⇒
a = (F₀/m) cos ωt ⇒
v = v₀ + ∫a dt = F₀/(mω) sin ωt ⇒
x = x₀ + ∫v dt = F₀/(mω²) (1 - cos ωt)

Answer 2

Для определения положения точки в момент времени \(t = 3.14\) секунды, можно использовать уравнения движения.

Уравнение движения точки вдоль оси \(x\) с постоянной массой можно записать как:

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = F \]

где: - \( m \) - масса точки (в данном случае \(1.0 \ кг\)), - \( \frac{d^2x}{dt^2} \) - ускорение, - \( F \) - сила, действующая на точку.

Зная, что \( F = F_0 \cos(\omega t) \) (где \( F_0 = 10 \ Н \) и \( \omega = 1.0 \ рад/с \)), мы можем подставить это выражение в уравнение движения:

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = F_0 \cos(\omega t) \]

После этого можно решить это дифференциальное уравнение с начальными условиями \(x(0) = 0\) и \(v(0) = 0\), чтобы найти положение точки в момент времени \(t = 3.14\) секунды.

Сначала найдем уравнение для скорости \(v(t)\) и затем уравнение для координаты \(x(t)\).

1. Интегрируем уравнение по времени, чтобы найти скорость: \[ m \frac{dv}{dt} = F_0 \cos(\omega t) \] \[ v(t) = \frac{F_0}{m\omega} \sin(\omega t) + C_1 \]

2. Интегрируем уравнение для скорости, чтобы найти координату: \[ m \frac{dx}{dt} = \frac{F_0}{m\omega} \sin(\omega t) + C_1 \] \[ x(t) = -\frac{F_0}{m\omega^2} \cos(\omega t) + C_1t + C_2 \]

Используя начальные условия \(x(0) = 0\) и \(v(0) = 0\), мы можем найти константы \(C_1\) и \(C_2\).

\[ x(0) = -\frac{F_0}{m\omega^2} + C_2 = 0 \implies C_2 = \frac{F_0}{m\omega^2} \]

\[ v(0) = \frac{F_0}{m\omega} \sin(0) + C_1 = 0 \implies C_1 = 0 \]

Теперь мы можем записать окончательное уравнение для координаты \(x(t)\):

\[ x(t) = -\frac{F_0}{m\omega^2} \cos(\omega t) + \frac{F_0}{m\omega^2} \]

Теперь подставим \(t = 3.14\) секунды:

\[ x(3.14) = -\frac{F_0}{m\omega^2} \cos(3.14\omega) + \frac{F_0}{m\omega^2} \]

Подставим значения \(F_0 = 10 \ Н\), \(m = 1.0 \ кг\) и \(\omega = 1.0 \ рад/с\):

\[ x(3.14) = -\frac{10}{1 \cdot (1.0)^2} \cos(3.14 \cdot 1.0) + \frac{10}{1 \cdot (1.0)^2} \]

\[ x(3.14) = -10 \cos(3.14) + 10 \]

\[ x(3.14) = -10 \cdot (-1) + 10 \]

\[ x(3.14) = 10 + 10 \]

\[ x(3.14) = 20 \ м \]

Таким образом, положение точки в момент времени \(t = 3.14\) секунды равно \(20 \ м\).