Question

Если в идеальной тепловой машине, абсолютная температура холодильника которой вдвое меньше температуры нагревателя, не меняя температуры нагревателя, температуру холодильника понизить вдвое, то КПД этой машины увеличится в ... раз. ОТВЕТ должен получиться 3/2.

Answer 1

Кпд1 = (Tн - Tх)/Tн = (Tн -  Tн/2) / Tн = 1-0.5 = 0.5

кпд2= (Tн - Tх/2) / Tн = (Tн -  Tн/4) / Tн = 1-0.25 = 0.75

кпд2 / кпд1 = 0.75 / 0.5 = 1.5

Answer 2

Для решения этой задачи используем формулу КПД (КПД идеальной тепловой машины) Карно, которая выражается как:

\[ \text{КПД} = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \]

где \(T_c\) - абсолютная температура холодильника, \(T_h\) - абсолютная температура нагревателя.

Согласно условию, если уменьшить температуру холодильника вдвое, то новая температура холодильника станет \(T_c/2\), и температура нагревателя останется неизменной, то есть \(T_h\). Подставим эти значения в формулу КПД:

\[ \text{КПД}_{\text{новый}} = 1 - \frac{T_c/2}{T_h} = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{T_c}{T_h} \]

Теперь сравним новый КПД с изначальным КПД:

\[ \frac{\text{КПД}_{\text{новый}}}{\text{КПД}_{\text{исходный}}} = \frac{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{T_c}{T_h}}{1 - \frac{T_c}{T_h}} \]

Для упрощения этого выражения подставим \(x = \frac{T_c}{T_h}\):

\[ \frac{\text{КПД}_{\text{новый}}}{\text{КПД}_{\text{исходный}}} = \frac{1 - \frac{1}{2}x}{1 - x} \]

Теперь решим уравнение \( \frac{1 - \frac{1}{2}x}{1 - x} = \frac{3}{2} \) относительно \(x\):

\[ 2(1 - \frac{1}{2}x) = 3(1 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ 2 - x = 3 - 3x \]

Перегруппируем:

\[ 2x = 1 \]

\[ x = \frac{1}{2} \]

Таким образом, абсолютная температура холодильника (\(T_c\)) в новой ситуации равна половине абсолютной температуры нагревателя (\(T_h\)).

Теперь подставим этот результат в формулу КПД идеальной тепловой машины:

\[ \text{КПД}_{\text{новый}} = 1 - \frac{T_c/2}{T_h} = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, отношение нового КПД к изначальному равно \(\frac{3}{4} / \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\), что и требовалось доказать.