Question

Стальной шарик, выпущенный из игрушечной пушки вертикально вверх, за вторую секунду полета поднялся на s=3,0 м. Найдите наибольшую высоту над точкой старта, которой достигал шарик за весь полет. Ответ выразить в метрах, округлить до десятых. Сопротивлением воздуха пренебречь. g = 10 м/с2.

Answer 1

1. Закон изменения высоты будет H(t)=v0t-(gt^2)/2=v0t-5t^2 (т.к. g=10) 2. На интервале [1;2] сек. изменение высоты было + 3 м, т.е. s=H(2)-H(1)=3 3. из п.1 H(2)-H(1)=(v02-52^2)-(v01-51^2)=2v0-20-v0+5=v0-15 4. Из 2. v0-15=3, откуда v0=18 5. v(t)=v0-gt, при этом в наивысшей точке v=0 6. 0=18-10t, откуда t=1,8 7. H(1.8)=181.8-51.8^2=16.2 8. Н(1)=13, Н(2)=16, т.е выходит, что за вторую секунду шарик успел подняться на 3,2м и опуститься на 0,2м

Answer 2

Для решения данной задачи будем использовать уравнение движения тела в вертикальном направлении:

\[ h(t) = h_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \]

Где: - \( h(t) \) - высота тела над точкой старта в момент времени \( t \), - \( h_0 \) - начальная высота (высота точки старта), - \( v_0 \) - начальная вертикальная скорость (в данном случае, скорость выстрела), - \( g \) - ускорение свободного падения (приближенно равно 10 м/с²), - \( t \) - время.

Мы знаем, что за вторую секунду полета \( t = 2 \) секунды и \( h(2) = 3 \) метра.

Подставим эти значения и найдем начальную вертикальную скорость \( v_0 \):

\[ h(2) = h_0 + v_0 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 \]

\[ 3 = h_0 + 2v_0 - 20 \]

\[ h_0 + 2v_0 = 23 \]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает начальную высоту и начальную скорость. Теперь мы хотим найти максимальную высоту, которую достигнет шарик. Максимальная высота достигается в тот момент времени, когда вертикальная скорость становится равной нулю.

Для нахождения момента времени \( t \), когда \( v_0 = 0 \), мы можем использовать уравнение вертикальной скорости:

\[ v(t) = v_0 - gt \]

Подставим \( v_0 = 2 \) и \( g = 10 \):

\[ 0 = 2 - 10t \]

\[ t = \frac{2}{10} = 0.2 \] секунды.

Теперь мы знаем момент времени \( t \), когда шарик достигнет своей максимальной высоты. Подставим \( t = 0.2 \) секунды в уравнение движения:

\[ h(0.2) = h_0 + 2 \cdot 0.2 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (0.2)^2 \]

\[ h(0.2) = h_0 + 0.4 - 0.2 \]

\[ h(0.2) = h_0 + 0.2 \]

Теперь мы можем использовать уравнение \( h_0 + 2v_0 = 23 \), чтобы найти \( h_0 \):

\[ h_0 + 2 \cdot 0 = 23 \]

\[ h_0 = 23 \]

Таким образом, начальная высота \( h_0 = 23 \) метра.

Теперь мы можем найти максимальную высоту, подставив \( h_0 = 23 \) и \( t = 0.2 \) в уравнение движения:

\[ h_{\text{макс}} = 23 + 2 \cdot 0.2 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (0.2)^2 \]

\[ h_{\text{макс}} = 23 + 0.4 - 0.2 \]

\[ h_{\text{макс}} = 23.2 \]

Ответ: Максимальная высота, которую достигнет шарик за весь полет, равна \( 23.2 \) метра (округлено до десятых).