Question

Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону w = а*sqrt(v), где а — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v0. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Answer 1

V`=-a* корень(v)
dv/корень(v) = - a*dt
2*корень(v) =-a*t+C
корень(v) = корень(v0) -a*t/2
v= (корень(v0) -a*t/2)^2
S=-2/a*(корень(v0) -a*t/2)^3/3
остановка при t=2*корень(v0)/a
путь за это время 2/a*(корень(v0))^3/3

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением движения:

w = а * sqrt(v)

где w - ускорение, v - скорость, а - положительная постоянная.

Из уравнения движения можно выразить ускорение w:

w = а * sqrt(v) w/а = sqrt(v) (w/а)^2 = v

Заметим, что w = dv/dt, где dv - изменение скорости, dt - изменение времени. Тогда:

(w/а)^2 = v (dv/dt/а)^2 = v dv/dt = а * sqrt(v)

Разделим обе части на sqrt(v):

dv/sqrt(v) = а * dt

Проинтегрируем обе части уравнения:

∫dv/sqrt(v) = ∫а * dt

2 * sqrt(v) = а * t + C

где С - постоянная интегрирования.

Изначально, в начальный момент времени t = 0, скорость v = v0. Подставим эти значения в уравнение:

2 * sqrt(v0) = а * 0 + C 2 * sqrt(v0) = C

Теперь можем записать окончательное уравнение:

2 * sqrt(v) = а * t + 2 * sqrt(v0)

Теперь найдем время, за которое точка остановится. Когда точка останавливается, скорость v = 0. Подставим это в уравнение:

2 * sqrt(0) = а * t + 2 * sqrt(v0) 0 = а * t + 2 * sqrt(v0)

Отсюда получаем:

а * t = -2 * sqrt(v0) t = -2 * sqrt(v0) / а

Заметим, что время не может быть отрицательным, поэтому мы можем игнорировать знак минус.

Таким образом, путь, который точка пройдет до остановки, равен:

∫v dt = ∫v0 dv/sqrt(v) = 2 * sqrt(v0) * t = 2 * sqrt(v0) * (-2 * sqrt(v0) / а) = -4 * v0 / а

Итак, путь, который точка пройдет до остановки, равен -4 * v0 / а, а время, за которое этот путь будет пройден, равно -2 * sqrt(v0) / а.