Question

В цилиндре под поршнем находится одноатомный идеальный газ с параметрами p0=105 Па, V0=5,6 , T0=273 К. Поршень удерживается пружиной, длина которой в недеформированном состоянии равна длине цилиндра. Слева от поршня −− вакуум. Найдите теплоёмкость газа. Ответ выразите в Дж/К, округлив до десятых. Теплоёмкости цилиндра, поршня и пружины не учитывать.

Answer 1

Теплоемкость - характеристика сугубо дифференциальная (хохо), поэтому в задаче все приращения будут малыми

Пусть поршень находится в некоем равновесном состоянии (газ давит, пружина сжата), и мы сообщаем в систему некое малое (!) количество теплоты.

Согласно первому началу
$\Delta Q = \Delta U + A$

С изменением внутренней энергии все будет просто, а вот работу хотелось бы пересчитать через изменение температуры. Для этого вспомним, что малая работа

$A \approx p_0\Delta V$

И попробуем через уравнение состояния связать объем с температурой. Напомним, что давление газа

$p = F/S = kl/S$

И по условию задачи l - это и деформация пружины, и длина части поршня, занимаемого газом, поэтому
$\displaystyle p V = \nu R T\\\\ \frac{klV}{S} = \nu R T\\ k V^2 = \nu S^2 R T\\ \Delta k (V^2)\approx 2kV_0\Delta V = \nu S^2 R\Delta T\\ \Delta V = \frac{\nu S^2 R}{2 k V_0}\Delta T = \frac{\nu R S}{2 k l_0}=\frac{\nu R}{2p_0}\Delta T$

Теперь

$\Delta Q = \frac{3}{2}\nu R \Delta T + A = (\nu\frac{3}{2}R+p_0\frac{\nu R}{2p_0})\Delta T = 2 \nu R \Delta T\\\\ C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = 2 \nu R = 2 \frac{p_0 V_0}{T_0}$

То, что молярная теплоемкость газа в такой системе равна 2R - достаточно известный факт. Мы его доказали, и выразили количество вещества газа через данные температуру давление и объем

Answer 2

Для нахождения теплоемкости газа воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

PV = nRT,

где P - давление, V - объем, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура.

Теплоемкость газа определяется как отношение изменения внутренней энергии газа к изменению его температуры:

C = ΔU/ΔT,

где C - теплоемкость, ΔU - изменение внутренней энергии, ΔT - изменение температуры.

Из уравнения состояния идеального газа можно выразить внутреннюю энергию газа:

U = (3/2)nRT,

где U - внутренняя энергия.

Теперь можно выразить теплоемкость газа:

C = (3/2)nR.

Для расчета количества вещества газа воспользуемся уравнением состояния:

n = PV/(RT),

где P0 = 105 Па, V0 = 5,6, T0 = 273 К.

Подставляя данные, получаем:

n = (105 Па * 5,6) / (8,31 Дж/(моль*К) * 273 К) ≈ 2,42 моль.

Теперь можем найти теплоемкость:

C ≈ (3/2) * 2,42 моль * 8,31 Дж/(моль*К) ≈ 29,6 Дж/К.

Итак, теплоемкость газа составляет около 29,6 Дж/К.