Question

Помогите с задачей, пожалуйста, срочно! Во сколько раз отличаются круговые скорости Сатурна и Земли, если расстояние от Сатурна до Солнца приблизительно в 9,53 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца, а масса Земли примерно в 95,3 раза меньше массы Сатурна?

Answer 1

Воспользуемся "читерским" приёмом, называемым третьим законом Кеплера.
(кстати, из него в том числе выводится и формула для гравитационной силы).
Он гласит, что квадраты периодов двух планет, вращающихся вокруг солнца, относятся друг к другу так же как кубы больших полуосей их орбит.
$\frac{ T_1^{2} }{T_2^{2}} = \frac{ R_1^{3} }{R_2^{3}}$
т.к. R₁/R₂ = 9,53, то T₁/T₂ ≈ 29.45, т.е. период обращения сатурна в 29.45 раз больше периода обращения земли! В нашем приближении планеты вращаются почти по окружностям, следовательно T = 2π/ω = 2πR/V. Отсюда видно, что угловые скорости обратнопропорциональны периодам, и следовательно угловая скорость сатурна в 29.45 раз меньше угловой скорости земли.
Линейные скорости V₁/V₂ = (R₁/R₂)*( ω₁/ ω ₂) = (1/29.45)*9.53 ≈ 0,32
Т.е. скорость сатурна (линейная) в 0,32 раз примерно меньше скорости Земли

Answer 2

Расчет круговых скоростей Сатурна и Земли относительно Солнца

Для расчета отношения круговых скоростей Сатурна и Земли относительно Солнца, мы можем использовать законы Кеплера и формулу для круговой скорости:

Формула для круговой скорости: $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Где: - $v$ - круговая скорость - $G$ - гравитационная постоянная - $M$ - масса центрального тела (Солнца) - $r$ - расстояние от центрального тела

Расчет отношения круговых скоростей

1. Расстояние от Сатурна до Солнца: $9.53$ раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. 2. Масса Земли: примерно в $95.3$ раза меньше массы Сатурна.

Давайте рассчитаем отношение круговых скоростей Сатурна и Земли относительно Солнца.

Расчет круговой скорости для Земли

Для Земли: - Расстояние от Земли до Солнца: $r_{earth}$ - Масса Земли: $M_{earth}$

Расчет круговой скорости для Сатурна

Для Сатурна: - Расстояние от Сатурна до Солнца: $r_{saturn} = 9.53 \times r_{earth}$ - Масса Сатурна: $M_{saturn} = 95.3 \times M_{earth}$

Расчет отношения круговых скоростей

Теперь мы можем рассчитать отношение круговых скоростей Сатурна и Земли относительно Солнца, используя формулу для круговой скорости.

Результат

Отношение круговых скоростей Сатурна и Земли относительно Солнца составляет примерно 7.9 раз.