Question

Сила тока в колебательном контуре изменяется по закону I =0,4sin(400t) (А). Определите индуктивность (в мГн) катушки, если емкость конденсатора 5 мкФ. 2 = 10

Answer 1

Запишем уравнение колебания в общем виде:
i = Imax*sin (ω*t)

Тогда, учитывая исходное уравнение, имеем
ω = 400*π рад/с

Тогда период:
T = 2π/ω = 2π / (400*π) = 2/400 = 0,005 с  = 5*10⁻³ с     (1)

По формуле Томсона:
T = 2*π*√ (L*C)                                                                  (2)

Приравняем (2) и (1)
2*π*√ (L*C) = 5*10⁻³                               (3)

Возведем обе части уравнения (3)  в квадрат:
4*π²*L*C = 25*10⁻⁶
L = 25*10⁻⁶ / (4*π²*С).

По условию:
π² = 10.

Подставляем данные:
L = 25*10⁻⁶ / (4*10*5*10⁻⁶) = 25 / 200 = 0,125 Гн  = 125 мГн

Answer 2

Для определения индуктивности \(L\) катушки в колебательном контуре с заданным уравнением тока \(I = 0.4 \sin(400\pi t + A)\) и известной емкостью конденсатора \(C = 5 \, \mu \text{F}\), мы можем использовать уравнение колебательного контура, которое связывает индуктивность, емкость и частоту:

\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

где \(f\) - частота колебаний контура. Частота \(f\) связана с угловой частотой \(\omega\) следующим образом:

\[ \omega = 2\pi f \]

В данном случае, у нас дано уравнение для тока \(I = 0.4 \sin(400\pi t + A)\), где \(400\pi\) - угловая частота \(\omega\). Мы можем сравнить это с общим видом уравнения для тока в колебательном контуре:

\[ I = I_0 \sin(\omega t + \phi) \]

Сравнивая коэффициенты, мы видим, что \(\omega = 400\pi\).

Теперь мы можем использовать уравнение для частоты исходя из данного значения угловой частоты:

\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

Подставим значение \(\omega\) и известное значение емкости \(C\):

\[ 400\pi = \frac{1}{2\pi \sqrt{L \cdot (5 \cdot 10^{-6})}} \]

Решим уравнение относительно индуктивности \(L\):

\[ L = \frac{1}{(400\pi)^2 \cdot 4\pi^2 \cdot 5 \cdot 10^{-6}} \]

Теперь рассчитаем это выражение:

\[ L = \frac{1}{(400\pi)^2 \cdot 4\pi^2 \cdot 5 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{1}{6.25 \cdot 10^{12}} \]

\[ L \approx 1.6 \cdot 10^{-13} \, \text{H} \]

Таким образом, индуктивность катушки примерно равна \(1.6 \cdot 10^{-13} \, \text{H}\), или \(160 \, \text{pH}\) (пикогенри).