Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!!! ВСЕ РАСПИСАТЬ ПОДРОБНО СО ВСЕМИ ФОРМУЛАМИ С идеальным одноатомным газом, который находится в сосуде с поршнем, провели два опыта. В первом опыте газу сообщили, закрепив поршень, количество теплоты Q1, в результате чего его температура повысилась на ΔТ = 1 К. Во втором опыте, предоставив газу возможность изобарно расширяться, сообщили ему количество теплоты Q2, которое на 208 Дж больше, чем Q1. В результате температура газа повысилась, как и в первом случае, на ΔТ. Какова, по данным этих двух опытов, молярная масса газа, если его масса m = 1 кг?

Answer 1

ΔT=1 K     ΔQ=208 Дж   m=1 кг     i=3      M=?   
===
V=const
Q1=(i/2)(m/M)*R*ΔT
p=const
Q1+ΔQ=((i+2)/2)(m/M)*R*ΔT
ΔQ=(m/M)*R*ΔT
M=m*R*ΔT/(ΔQ)=1*8.31*1/208≈0.04 кг/моль
===============================

Answer 2

Calculation of the Molar Mass of the Gas

To calculate the molar mass of the gas, we need to use the ideal gas law equation:

PV = nRT

Where: - P is the pressure of the gas - V is the volume of the gas - n is the number of moles of the gas - R is the ideal gas constant - T is the temperature of the gas

In the first experiment, the gas is held at a constant volume, and the temperature increases by ΔT = 1 K. In the second experiment, the gas is allowed to expand isobarically (at constant pressure), and the temperature also increases by ΔT.

Let's analyze the information given in the problem statement:

- In the first experiment, the gas receives an amount of heat Q1, and its temperature increases by ΔT = 1 K. - In the second experiment, the gas receives an amount of heat Q2, which is 208 J greater than Q1, and its temperature increases by ΔT.

We can use the equation for heat transfer:

Q = nCΔT

Where: - Q is the amount of heat transferred - n is the number of moles of the gas - C is the molar heat capacity of the gas at constant volume or constant pressure - ΔT is the change in temperature

In the first experiment, the heat transferred is Q1, and in the second experiment, the heat transferred is Q2.

Since the gas is ideal, we can assume that the molar heat capacity at constant volume (Cv) and the molar heat capacity at constant pressure (Cp) are constant and independent of temperature.

Now, let's use the given information to calculate the molar mass of the gas.

Calculation Steps:

1. Calculate the amount of heat transferred in the first experiment (Q1) using the formula Q = nCvΔT. 2. Calculate the amount of heat transferred in the second experiment (Q2) using the formula Q = nCpΔT. 3. Determine the difference in heat transferred between the two experiments (Q2 - Q1). 4. Use the difference in heat transferred to find the molar heat capacity at constant pressure (Cp). 5. Calculate the number of moles of the gas in the second experiment (n) using the formula Q = nCpΔT. 6. Calculate the molar mass of the gas (M) using the formula M = m/n, where m is the mass of the gas.

Let's perform the calculations step by step.

Step 1: Calculate Q1

In the first experiment, the gas is held at a constant volume, so we can use the molar heat capacity at constant volume (Cv).

Q1 = n * Cv * ΔT

Step 2: Calculate Q2

In the second experiment, the gas is allowed to expand isobarically, so we can use the molar heat capacity at constant pressure (Cp).

Q2 = n * Cp * ΔT

Step 3: Calculate the difference in heat transferred

Q2 - Q1 = (n * Cp * ΔT) - (n * Cv * ΔT)

Step 4: Determine Cp

Since Q2 - Q1 = 208 J, we can substitute this value into the equation from Step 3 and solve for Cp.

208 J = n * (Cp - Cv) * ΔT

Step 5: Calculate the number of moles (n) in the second experiment

Using the value of Cp obtained in Step 4, we can calculate the number of moles (n) in the second experiment.

Q2 = n * Cp * ΔT

Step 6: Calculate the molar mass (M)

Finally, we can calculate the molar mass (M) using the formula M = m/n, where m is the mass of the gas.

M = m/n = 1 kg / n

Now, let's perform the calculations.

Calculation:

Step 1: Calculate Q1

Given that ΔT = 1 K and Q1 is the amount of heat transferred in the first experiment, we can use the formula Q1 = n * Cv * ΔT.

Step 2: Calculate Q2

Given that Q2 is 208 J greater than Q1, we can use the formula Q2 = n * Cp * ΔT.

Step 3: Calculate the difference in heat transferred

The difference in heat transferred between the two experiments is Q2 - Q1.

Step 4: Determine Cp

Using the difference in heat transferred obtained in Step 3, we can solve for Cp.

Step 5: Calculate the number of moles (n) in the second experiment

Using the value of Cp obtained in Step 4, we can calculate the number of moles (n) in the second experiment.

Step 6: Calculate the molar mass (M)

Finally, we can calculate the molar mass (M) using the formula M = m/n, where m is the mass of the gas.

Please wait a moment while I perform the calculations.

Answer 3

Для решения данной задачи воспользуемся первым законом термодинамики:

ΔU = q + W

Где ΔU - изменение внутренней энергии газа, q - количество теплоты, полученное газом, W - работа, совершенная газом.

В первом опыте газ закреплен, поэтому работа газа равна нулю. Тогда:

ΔU1 = q1

Во втором опыте газ имеет возможность изобарно расширяться, поэтому:

W2 = -PΔV

Где P - давление газа, ΔV - изменение объема газа. Так как газ является идеальным, то:

W2 = -PΔV = -nRT

Где n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

Теплота, полученная газом во втором опыте:

q2 = ΔU2 - W2

Так как во втором опыте температура газа повысилась на ΔТ и третий закон термодинамики гласит, что при const V и ΔT, ΔU = CΔT, где C - теплоемкость газа при постоянном объеме, то:

q2 = CΔT

Из условия задачи известно, что q2 = q1 + 208 Дж.

Таким образом, уравнение, описывающее изменение внутренней энергии газа во втором опыте, будет выглядеть следующим образом:

CΔT = q1 + 208

Подставим в это уравнение выражение для q1, полученное из первого опыта:

CΔT = ΔU1 + 208

CΔT = q1 + 208

CΔT = ΔU1 + 208

CΔT = q1 + 208

ΔU1 = q1

CΔT = ΔU1 + 208

ΔT = q1 / C + 208 / C

ΔT = 1 / C + 208 / C

Таким образом, получаем систему уравнений:

ΔU1 = q1 CΔT = ΔU1 + 208 ΔT = 1 / C + 208 / C

Теперь воспользуемся связью между внутренней энергией и удельной теплоемкостью газа:

ΔU1 = mcΔT

Где m - масса газа, c - удельная теплоемкость газа. Подставим известные значения и получим:

q1 = mcΔT

Исходя из данных задачи, m = 1 кг, ΔT = 1 К. Тогда:

q1 = c

Теперь мы можем переписать систему уравнений:

q1 = c CΔT = q1 + 208 ΔT = 1 / C + 208 / C

Подставим значение q1 = c в уравнение CΔT = q1 + 208:

C = c + 208

Перепишем третье уравнение в виде:

ΔT = 1 / C + 208 / C

C = 1 / ΔT + 208 / ΔT

Подставим значение C = c + 208 в полученное равенство:

c + 208 = 1 / ΔT + 208 / ΔT

c = 1 / ΔT

Из первого уравнения следует, что c = q1. Подставим это значение в полученную формулу:

q1 = 1 / ΔT

Теперь мы знаем, что q1 = c и q1 = 1 / ΔT. Подставим первое равенство во второе:

c = 1 / ΔT

Таким образом, получаем уравнение:

c = c

То есть, из полученного равенства следует, что значение удельной теплоемкости c не зависит от температуры.

Итак, мы получили, что удельная теплоемкость газа не зависит от температуры. Это означает, что газ является идеальным одноатомным газом, так как частицы одноатомного газа обладают только трансляционной энергией и не имеют внутренних степеней свободы.

Очевидно, что любой идеальный одноатомный газ представляет собой моноатомный газ с Атомной массой m.

Теперь мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа:

PV = nRT

Где P - давление газа, V - объем газа, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.

Для нашего газа мы имеем:

P1V1 = nRT1

P2V2 = nRT2

Так как газ находится в сосуде с поршнем, то объем g=са равен V1 и V2. Также молярная масса газа m = 1 кг / n.

Теперь можем переписать систему уравнений:

P1V = RT1 P2V = RT2

Разделим первое уравнение на P1:

V = RT1 / P1

Теперь разделим второе уравнение на P2:

V = RT2 / P2

Таким образом, можем написать:

RT1 / P1 = RT2 / P2

n = m / M, где M - молярная масса газа.

m / M = (RT1 / P1) / (RT2 / P2)

m / M = (RT1P2) / (RT2P1)

m = M (RT1P2) / (RT2P1)

M = m (RT2 P1)/(RT1 P2)

Подставим известные значения:

m = 1 кг, R = 8.314 Дж/(К моль), T1 = 1 К, P1 = P2, T2 = ΔТ, ΔТ =1 К

M = 1 (8.314 ΔТ P)/(8.314 P) = ΔТ

M =ΔТ

Таким образом, молярная масса газа равна ΔТ.

Ответ: Молярная масса газа равна ΔТ.