Question

!!ДАЮ НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ ЗА ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ!!Шарик (радиус - r) скатывается по желобу (радиус - R). Желоб неподвижен, шарик скатывается без проскальзывания. Определить частоту колебаний (ω - ?). (Считается, что первоначально шарик находился в равновесии, а потом его отводят на некоторое расстояние, после чего и возникают колебательные движения. Нужно определить частоту этих колебаний)Только подробнее, пожалуйста!

Answer 1

Поднимаясь по желобу на высоту h шарик приобретает потенциальную энергию
W = mgh.

При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0  и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует:
X0^2 + (R-h)^2 = R^2
Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2
Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*h
X0^2 = 2*R*h

Таким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия:
h = X0^2/2R

Потенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид:
W = m*g*X0^2/2R

Теперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна:
T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2
поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega.

При этом максимальная линейная скорость шарика
V0 = Omega*r, где r = радиус шарика =>
Omega = V0/r

T = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2

Если шарик совершает гармонические колебания по закону
x(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по закону
v(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t)

Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равна
V0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика.

Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид:
T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2).

Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен
I = (2/5)mr^2, то

T = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2

В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T.

(7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2R
отсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем:

(7/5)*omega^2 = g/R

и окончательно
omega^2 = (5/7)*(g/R)
и
omega = sqrt(5g/7R).

Частота такого "маятника" niu = omega/2Pi
niu = sqrt(5g/7R)/2Pi

Период T = 1/niu = 2Pi*sqrt(7R/5g)

Уф.

Answer 2

Смотри решение во вложении

Answer 3

Calculation of the Frequency of Oscillations for a Ball Rolling in a Groove

To determine the frequency of oscillations for a ball rolling in a groove, we can use the principles of simple harmonic motion. Simple harmonic motion occurs when an object oscillates back and forth around an equilibrium position under the influence of a restoring force.

In this case, the ball is rolling in a groove with a radius of R, and the ball itself has a radius of r. The groove is stationary, and the ball rolls without slipping. We want to find the frequency of the oscillations (ω) of the ball.

To solve this problem, we can consider the ball as a simple pendulum. When the ball is displaced from its equilibrium position, it experiences a restoring force due to the gravitational pull towards the center of the groove. This force acts as a centripetal force, keeping the ball in circular motion.

The restoring force can be calculated using the equation:

F = mω²r

Where: - F is the restoring force - m is the mass of the ball - ω is the angular frequency of the oscillations - r is the radius of the ball

The restoring force is equal to the gravitational force acting on the ball, which can be calculated as:

F = mg

Where: - g is the acceleration due to gravity

Setting these two equations equal to each other, we have:

mω²r = mg

Simplifying the equation, we can solve for the angular frequency ω:

ω = √(g/r)

Therefore, the frequency of oscillations can be calculated as:

f = ω / (2π)

Where: - f is the frequency of oscillations

Now, let's substitute the given values of the radii R and r into the equation to calculate the frequency of oscillations.

Please provide the values of the radii R and r, and I will calculate the frequency of oscillations for you.