Question

Два моля идеального одноатомного газа сначала изобарно нагрели, а затем изохорно охладили до первоначальной температуры как показано на рис. 1. Какое количество теплоты сообщено газу при нагревании? Начальная температура газа Т=400 К, давление газа при охлаждении уменьшилось в три раза.

Answer 1

Дано: $T_{1}=400$ K

          $P_{1}=P_{2}$

          $P_{1}=3P_{3}$   

          $\nu=2$ моль 

 Какое количество теплоты $Q$ сообщено газу при нагревании?

 

Решение. Газ получает количество теплоты $Q$ на участке 12, т.к. при этом газ совершает работу $A$ над внешними телами а его внутренняя энергия увеличивается на величину $\Delta U$. Воспользуемся первым началом термодинамики:

   

        $Q=A+\Delta U$-------(1)

Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то ее изменение на участке 12 равно:

      $\Delta U=\frac{3}{2}\nu*R*(T_{2}-T_{1})$-------(2)

 

При этом работа газа равна:

            $A=P_{1}*(V_{2}-V_{1})$-------(3)

Из уравнения состояния идеального газа при изобарном процессе следует:

      $P_{1}*(V_{2}-V_{1})=\nu*R*(T_{2}-T_{1})$-----(4) 

Подставим в равенство (3) вместо его правой части правую часть уравнения (4), получим:

            $A=\nu*R*(T_{2}-T_{1})$--------(5)   

Подставим в (1) вместо $A$ и $\Delta U$ соотвественно правые части выражений (5) и (2), получим:

        $Q=\nu*R*(T_{2}-T_{1})+\frac{3}{2}\nu*R*(T_{2}-T_{1})$, приведя подобные в правой части последнего равенства, получим

         $Q=\frac{5}{2}\nu*R*(T_{2}-T_{1})$------(6)

 

Процесс 12 подчиняется закону Гей-Люссака, поэтому

$\frac{T_{2}}{V_{2}}=\frac{T_{1}}{V_{1}}$, отсюда выразим $T_{2}$ 

      $T_{2}=\frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}$------(7)

 

     Подставим в (6) вместо $T_{2}$ выражение (7), получим:

         $Q=\frac{5}{2}\nu*R*(\frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1})$, или

       

            $Q=\frac{5}{2}\nu*R*T_{1}(\frac{V_{2}}{V_{1}}-1)$-----(8)

 

Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому

        $\frac{P_{2}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{T_{3}}$-------(9) 

но по условию $T_{3}=T_{1}$, $P_{2}=P_{1]$, $P_{1}=3P_{3}$   Тогда (9) примет вид:

       $\frac{3P_{3}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{T_{1}}$, отсюда

       

            $T_{2}=3T_{1}$---------(10)

Подставим в (7) вместо $T_{2}$ выражение (10), получим 

      $3T_{1}=\frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}$, отсюда

         $\frac{V_{2}}{V_{1}}=3$--------(11)

И, наконец, подставим в (8) вместо дроби $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ ее значение (выражение (11)), получим

         $Q=\frac{5}{2}\nu*R*T_{1}(3-1)=5*\nu*R*T_{1}$

Расчет:

            $Q=5*\nu*R*T_{1}=5*2*8,314*400=33256$ Дж