Question

По двум вертикальным проводящим рельсам может двигаться без трения проводник длиной L = 10 см и массой m = 6 г. Перпендикулярно к плоскости чертежа создано магнитное поле с индукцией B = 1 Тл. Найти скорость установившегося движения проводника, если между верхними концами рельсов включен резистор с сопротивлением R = 2 Ом

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения скорости установившегося движения проводника воспользуемся законом сохранения энергии.

Первоначально проводник находится в состоянии покоя и не имеет кинетической энергии. Потенциальная энергия проводника в начальный момент времени равна механическому работе, которую совершает магнитное поле при перемещении проводника вдоль рельсов.

Работу магнитного поля можно выразить через силу Лоренца F = q(vB), где q - заряд проводника, v - скорость проводника, B - индукция магнитного поля. Так как проводник несет ток I, то q = I*t, где t - время, за которое проводник пройдет расстояние l.

Тогда работа магнитного поля W = F*l = (I*t*vB)*l = I*l*v*B*t.

Потенциальная энергия проводника в начальный момент времени равна P = m*g*h = 0, так как проводник находится в состоянии покоя. Здесь m - масса проводника, g - ускорение свободного падения, h - высота над землей.

С учетом закона сохранения энергии, механическая работа должна быть равна потенциальной энергии, то есть:

I*l*v*B*t = m*g*h.

Выразим скорость v:

v = (m*g*h) / (I*l*B*t).

Так как проводник движется без трения, механическая энергия должна расходоваться на преодоление сопротивления резистора. Мощность, выделяемая на резисторе, равна:

P = I^2 * R = (I*t)^2 * R = (m*g*h / (l*B*t))^2 * R.

Пусть T - время, за которое установится постоянный ток. Тогда мощность на резисторе можно представить как:

P = U * I = U * (m*t / (l*B))^2 * R,

где U - напряжение на резисторе.

Используя формулу для напряжения U = I * R, получим:

U * (m*t / (l*B))^2 * R = U * I.

Упростим уравнение:

(m*t / (l*B))^2 * R = I,

(m*t)^2 * R = I^3 * l^2 * B^2.

Таким образом, установившаяся скорость v проводника будет:

v = (m*g*h) / (I*l*B*t) = sqrt((I^3 * l^2 * B^2) / (m^2 * g^2)).

Подставляем значения из условия:

m = 6 г = 0.006 кг, l = 10 см = 0.1 м, B = 1 Тл, r = 2 Ом.

Ускорение свободного падения g примем равным 9.8 м/с^2.

Расстояние h между проводником и землей не указано в условии, поэтому его значение необходимо уточнить. Как только будет известно значение h, можно будет подставить все в формулу и решить уравнение для определения скорости v проводника.