Question

На гладком горизонтальном столе покоится шар. С ним сталкивается такой же шар. Удар абсолютно упругий и нецентральный. Под каким углом разлетаются шары?

Answer 1

они разлетятся под углом  90 градусов.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и импульса.

Обозначим массу каждого шара через \(m\), скорость первого шара до столкновения через \(v_1\), а второго - через \(v_2\). Также пусть \(\theta\) - угол между направлением движения первого шара и направлением, в котором он отлетает после столкновения.

Закон сохранения импульса в направлениях \(x\) и \(y\) дает нам следующие уравнения:

\[m \cdot v_1 = m \cdot v_{1x}' + m \cdot v_{1y}'\] \[m \cdot v_2 = m \cdot v_{2x}' + m \cdot v_{2y}'\]

где \(v_{1x}'\) и \(v_{1y}'\) - компоненты скорости первого шара после столкновения, а \(v_{2x}'\) и \(v_{2y}'\) - компоненты скорости второго шара после столкновения.

Закон сохранения энергии для абсолютно упругого столкновения выражается следующим образом:

\[\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_{1x}'^2 + \frac{1}{2} m v_{1y}'^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m v_{2x}'^2 + \frac{1}{2} m v_{2y}'^2\]

Распишем компоненты скоростей:

\[v_{1x}' = v_1 \cos \theta\] \[v_{1y}' = v_1 \sin \theta\] \[v_{2x}' = v_2 \cos \phi\] \[v_{2y}' = v_2 \sin \phi\]

где \(\phi\) - угол разлета второго шара.

Теперь мы можем записать уравнения сохранения импульса и энергии в проекциях:

\[m \cdot v_1 = m \cdot v_1 \cos \theta + m \cdot v_1 \sin \theta\] \[m \cdot v_2 = m \cdot v_2 \cos \phi + m \cdot v_2 \sin \phi\]

\[\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 \cos^2 \theta + \frac{1}{2} m v_1^2 \sin^2 \theta + \frac{1}{2} m v_2^2\] \[= \frac{1}{2} m v_2^2 \cos^2 \phi + \frac{1}{2} m v_2^2 \sin^2 \phi\]

Отсюда можно упростить:

\[1 = \cos \theta + \sin \theta\] \[1 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \cos^2 \phi + \sin^2 \phi\]

Первое уравнение дает нам \(\sin \theta = \cos \theta\), что значит, что \(\tan \theta = 1\). Значит, угол \(\theta\) равен 45 градусам.

Второе уравнение дает \(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1\), что также является уравнением окружности. Это означает, что угол разлета \(\phi\) также равен 45 градусам.

Таким образом, шары разлетаются под углом 45 градусов друг относительно друга после абсолютно упругого и нецентрального столкновения.