Question

Пожалуйста, помогите!Найти момент инерции шарового слоя малой толщины b<<R, где R-средний радиус слоя. Масса шарового слоя равна m

Answer 1

Считаем, что шаровой слой =  разности двух шаров с радиусами r1 = r + b/2 и r2 = r - b/2 и плотностью, равной плотности шарового слоя.
1. Объём
$V=\dfrac43\pi(r_1^3-r_2^3)$
2. Плотность
$\rho=\dfrac mV$
3. Массы шариков
$m_1=\dfrac43\pi\rho r_1^3;\quad m_2=\dfrac43\pi\rho r_2^3$
4. Момент инерции = разность моментов шариков
$I=\dfrac25(m_1r_1^2-m_2r_2^2)=\dfrac25\cdot\dfrac43\pi\rho(r_1^5-r_2^5)=\dfrac25m\dfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}$
Осталось понять, как считать разности вида r1^n - r2^n.
$r_1^n-r_2^n=\left(r+\dfrac b2\right)^n-\left(r-\dfrac b2\right)^n\approx \left(r^n+\dfrac n2r^{n-1}b\right)-\left(r^n-\dfrac n2r^{n-1}b\right)\\ r_1^n-r_2^n\approx nr^{n-1}b$
$I=\dfrac25m\dfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}\approx\dfrac25m\dfrac{5r^4b}{3r^2b}=\dfrac23mr^2$
В первом порядке I не зависит от b. Если надо, чтобы зависело (правда, непонятно, зачем) - учитывайте следующие члены в разложении по биному.

Answer 2

Момент инерции шарового слоя малой толщины

Для нахождения момента инерции шарового слоя малой толщины, мы можем использовать формулу для момента инерции тонкого кольца и применить принцип суперпозиции.

Момент инерции тонкого кольца относительно его оси вращения можно выразить следующей формулой:

I = m * R^2

где: - I - момент инерции кольца - m - масса кольца - R - радиус кольца

Применение принципа суперпозиции

Теперь, чтобы найти момент инерции шарового слоя малой толщины, мы можем представить его как набор тонких колец, каждое с одним и тем же радиусом R, но с разными массами. Затем мы можем применить принцип суперпозиции, чтобы сложить моменты инерции каждого кольца.

Масса каждого кольца будет пропорциональна его площади, которая, в свою очередь, пропорциональна квадрату его радиуса. Поэтому масса каждого кольца будет равна:

dm = (m / (4πR^2)) * 2πR * dr = (m / 2R) * dr

где: - dm - масса каждого кольца - m - масса шарового слоя - R - радиус каждого кольца - dr - малый изменение радиуса

Теперь мы можем интегрировать моменты инерции каждого кольца по всему радиусу слоя, чтобы получить итоговый момент инерции шарового слоя малой толщины.

I = ∫(m / 2R) * R^2 * dr

I = (m / 2R) * ∫R^2 * dr

I = (m / 2R) * (R^2 * r) | от 0 до R

I = (m / 2) * R^2

Таким образом, момент инерции шарового слоя малой толщины (b << R) равен половине момента инерции шара с радиусом R и массой m.

I = (m / 2) * R^2