Question

Похила площина утворює кут 30° з горизонтом. З якою мінімальною швидкістю потрібно штовхнути тіло вгору по похилій площині, щоб воно піднялося на висоту 4 м? Коефіцієнт тертя тіла об поверхню похилої площини дорівнює 0,3.

Answer 1

Для вирішення цієї задачі ми можемо скористатися законами збереження енергії та рівняннями руху похилого площини з урахуванням сили тертя.

Закон збереження енергії для механічної енергії тіла визначається як:

\[ E_{\text{початкова}} = E_{\text{кінцева}} \]

На початку руху тіло має кінетичну енергію та потенційну енергію (відносно похилого пласта), а в кінці тільки потенційну енергію.

Кінетична енергія визначається формулою:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

Потенційна енергія визначається як:

\[ E_p = mgh \]

де \( m \) - маса тіла, \( v \) - швидкість тіла, \( g \) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²), \( h \) - висота підняття тіла.

На похилій площині діє сила тертя, яку можна визначити як \( F_{\text{тертя}} = \mu \cdot N \), де \( \mu \) - коефіцієнт тертя, \( N \) - нормальна сила. Нормальна сила \( N \) визначається як \( N = mg \cos(\theta) \), де \( \theta \) - кут нахилу площини.

Рівняння руху тіла вздовж похилого пласта можна записати так:

\[ F_{\text{загальна}} = m a \]

де \( F_{\text{загальна}} = F_{\text{зсуву}} - F_{\text{тертя}} \), \( F_{\text{зсуву}} \) - сила, яка тягне тіло вгору по площині, \( a \) - прискорення тіла.

Підставимо в це рівняння вирази для сил:

\[ m a = m g \sin(\theta) - \mu m g \cos(\theta) \]

Враховуючи, що \( a = g \sin(\theta) - \mu g \cos(\theta) \), можемо записати рівняння руху:

\[ g \sin(\theta) - \mu g \cos(\theta) = \frac{dv}{dt} \]

Інтегруємо обидві сторони відносно часу \( t \):

\[ \int g \sin(\theta) - \mu g \cos(\theta) \, dt = \int dv \]

Отримаємо вираз для швидкості \( v \) відносно часу:

\[ v(t) = \frac{gt}{\sin(\theta)} - \mu g \frac{t}{\tan(\theta)} + C \]

де \( C \) - константа інтегрування.

Тепер, використовуючи умову, що тіло піднімається на висоту \( h \) за час \( t \), можемо записати:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 - \mu g t^2 \cot(\theta) + C t \]

Підставимо значення \( t \) з умови \( h = 4 \) м і вирішимо рівняння відносно \( C \).

Після вирішення рівняння і знаходження значення \( C \), можемо використати вираз для \( v(t) \), щоб знайти мінімальну швидкість, яку потрібно надати тілу, щоб воно піднялося на висоту \( h \). Мінімальна швидкість буде досягнута в той момент, коли \( v(t) = 0 \).