Question

Используя формулу для определения давления столба жидкости p=ρgh, докажите, что в сообщающихся сосудах отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями равно обратному отношению плотностей. Дайте ответ

Answer 1

Ответ: В сообщающихся сосудах отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями равно обратному отношению плотностей.

h₁ : h₂ = ρ₂ : ρ₁

Объяснение:

В сообщающихся сосудах отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями равно обратному отношению плотностей.

Докажем данное утверждение:

По закону Паскаля - давление, которое оказывается на жидкость или газ, передается в каждую точку жидкости или газа без изменений, то есть p₁ = p₂.

Используя формулу давления столба жидкости

p₁ = ρ₁gh₁

p₂ = ρ₂gh₂

Следовательно

ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂

ρ₁h₁ = ρ₂h₂

Отсюда h₁ : h₂ = ρ₂ : ρ₁

Answer 2

Давайте рассмотрим два соединенных сосуда, наполненных жидкостью с плотностью \( \rho_1 \) и \( \rho_2 \) соответственно. Пусть высоты столбов жидкости в этих сосудах равны \( h_1 \) и \( h_2 \), а уровень жидкости в обоих сосудах выровнен (высота \( h \)).

Используем формулу для давления столба жидкости:

\[ P = \rho gh \]

Где: - \( P \) - давление, - \( \rho \) - плотность жидкости, - \( g \) - ускорение свободного падения (приближенно принимается \( 9.8 \, \text{м/с}^2 \)), - \( h \) - высота столба жидкости.

Для первого сосуда:

\[ P_1 = \rho_1gh_1 \]

Для второго сосуда:

\[ P_2 = \rho_2gh_2 \]

Так как уровень жидкости в обоих сосудах выровнен, то \( h_1 + h = h_2 \). Мы можем записать это уравнение как \( h_1 = h_2 - h \).

Теперь сравним давления в сосудах:

\[ P_1 = \rho_1gh_1 \]

\[ P_2 = \rho_2gh_2 \]

Подставим \( h_1 = h_2 - h \):

\[ P_1 = \rho_1g(h_2 - h) \]

\[ P_2 = \rho_2gh_2 \]

Теперь рассмотрим отношение давлений:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{\rho_1g(h_2 - h)}{\rho_2gh_2} \]

Сократим \( g \) и раскроем скобки:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{\rho_1(h_2 - h)}{\rho_2h_2} \]

Разделим числитель и знаменатель на \( \rho_2 \):

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{\rho_1}{\rho_2}(h_2 - h)}{h_2} \]

Теперь видно, что отношение давлений зависит от отношения плотностей \( \frac{\rho_1}{\rho_2} \) и от высоты столба жидкости в сосуде. Теперь если рассмотреть случай, когда \( \rho_1 > \rho_2 \), то отношение давлений будет обратным отношению плотностей:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \frac{(h_2 - h)}{h_2} \]

Таким образом, доказано, что в соединенных сосудах отношение высот столбов жидкости с разными плотностями равно обратному отношению плотностей.