Question

Точкові заряди, кожний q = 1 мкКл, розташовані у вершинах рівностороннього шестикутника із стороною а = 10 мм. Знайти напруженість і потенціал в центрі шестикутника.Зробити рисунок

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі скористаємося симетрією рівностороннього шестикутника і визначимо напруженість і потенціал у центрі шестикутника.

Запишемо вираз для напруженості електричного поля \( E \), створеного точковим зарядом відстанню \( r \):

\[ E = \frac{k \cdot q}{r^2} \]

де \( k \) - електростатична константа (\( 8.99 \times 10^9 \ \mathrm{N \cdot m^2/C^2} \)), \( q \) - заряд точкового заряду, \( r \) - відстань від точкового заряду.

В даній задачі всі точкові заряди мають однаковий заряд \( q = 1 \ \mathrm{\mu C} \). Також, через симетрію рівностороннього шестикутника, всі точкові заряди будуть розташовані на колах з центром у центрі шестикутника. Однакові відстані між центром і кожною з вершин шестикутника будуть однаковими. Така відстань може бути знайдена, наприклад, утворивши правокутний трикутник, половина основи якого рівна стороні шестикутника.

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{10 \ \mathrm{mm}}{2} = 5 \ \mathrm{mm} = 0.005 \ \mathrm{m} \]

Тепер можемо знайти напруженість електричного поля \( E \) для одного заряду:

\[ E = \frac{k \cdot q}{r^2} = \frac{(8.99 \times 10^9 \ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}) \cdot (1 \times 10^{-6} \ \mathrm{C})}{(0.005 \ \mathrm{m})^2} \]

\[ E \approx 1.798 \times 10^4 \ \mathrm{N/C} \]

Так як напруженість електричного поля в центрі шестикутника зумовлено всіма точковими зарядами, які розташовані на його вершинах, то напруженість буде векторною величиною, напрямленою у центр шестикутника. Оскільки всі вектори напруженості будуть однакові за модулем та напрямлені різними вершинами шестикутника, то можна скористатися властивістю симетрії та додати їх векторно, взявши до уваги кутовий розподіл точкових зарядів у шестикутнику.

\[ \vec{E}_{\text{сума}} = 6 \cdot \vec{E}_{\text{одного}} \]

\[ \vec{E}_{\text{сума}} = 6 \cdot (1.798 \times 10^4 \ \mathrm{N/C}) \]

\[ \vec{E}_{\text{сума}} \approx 1.0788 \times 10^5 \ \mathrm{N/C} \]

Тепер можна знайти потенціал \( V \) у центрі шестикутника. Потенціал обчислюється за формулою:

\[ V = E \cdot d \]

де \( d \) - відстань від точки до заряду. У центрі шестикутника відстань до будь-якої з його вершин дорівнює \( r \).

\[ V = \vec{E}_{\text{сума}} \cdot r \]

\[ V \approx (1.0788 \times 10^5 \ \mathrm{N/C}) \cdot (0.005 \ \mathrm{m}) \]

\[ V \approx 539 \ \mathrm{V} \]

Отже, напруженість електричного поля в центрі рівностороннього шестикутника становить приблизно \( 1.0788 \times 10^5 \ \mathrm{N/C} \), а потенціал у центрі - приблизно \( 539 \ \mathrm{V} \).