Question

Рівняння координат двох тіл, які рухаються вздовж осі OX, мають вигляд: x₁=8-2t+t²; x₂=-2-5t+2t²⓵ для кожного тіла визначте:а) яким є його рух; б) початкову координату; модуль і напрямок початкової швидкості; г) прискорення руху.⓶ знайдіть час і координату зустрічі тіл.⓷для кожного тіла запишіть рівняння і, побудуйте графіки проекцій швидкості та переміщення.​

Answer 1

Дано:  

x₁=8-2t+t²;

x₂=-2-5t+2t²

Знайти: див. умову.

1. Координата тіла при рівноприскоренному русі:

x = x₀ + v₀t + at²/2

а) Оскільки a ≠ 0 в обох випадках, то рух - рівноприскоренний

a > 0 - тіла набирають швидкість.  

б) x₀ у першого тіла = 8

у другого = -2

в) Модуль початкової швидкості для першого тіла = 2 (оскільки модуль на -2 дає 2), а для другого = 5. Оскільки швидкість від'ємна, то напрямок протилежний напряму осі Ох.

г) З вище згаданної формули, a = 2 для першого тіла та а = 4 для другого

Варто зазначити, що розмірності вказувати не варто, оскільки що координата, що час може бути в будь-яких розмірностях.

2. При зустрічі координата однакова

Тому прирівнюємо 2 праві частини між собою:

8 - 2t + t² = -2 - 5t + 2t²

0 = -10 - 3t + t²

t² - 3t - 10 = 0

З теореми Вієта t₁ = 5, t₂ = -2 < 0 - не є коренем

Отже, тіла зустрінуться через 5 одиниць часу.

Координата знаходиться за допомогою підстановки t в будь яке рівняння

x = 8 - 10 + 25 = 23

3. v(t) знаходиться за допомогою похідної від рівнянь координати:

(8-2t+t²)' = 2t - 2 - перше тіло

(-2-5t+2t²)' = 4t - 5 - друге тіло

s(t) знаходиться, відкидаючи x₀ з рівняння координат:

Перше тіло: S(t) = t²-2t

Друге: S(t) = 2t²-5t

Графіки наведені на доданому малюнку.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі, спочатку розглянемо рівняння координат двох тіл, які рухаються вздовж осі OX:

1. x₁ = 8 - 2t + t² 2. x₂ = -2 - 5t + 2t²

Для тіла x₁:

а) Рух тіла: Рух тіла x₁ можна визначити, знаючи коефіцієнти t², t та вільний член у рівнянні. У даному випадку, коефіцієнти перед t² і t додатні, отже, тіло рухається вправо (положительне напрямок осі OX). Крім того, коефіцієнт при t² (1) більший, ніж коефіцієнт при t (-2), що означає, що рух є прискореним.

б) Початкова координата: Коли t = 0, підставимо t = 0 у рівняння x₁, щоб знайти початкову координату: x₁(0) = 8 - 2(0) + 0² = 8

в) Початкова швидкість: Початкова швидкість може бути знайдена, обчисливши похідну x₁ по відношенню до t та підставивши t = 0. Похідна від x₁ виглядає так: v₁(t) = dx₁/dt = -2 + 2t При t = 0: v₁(0) = -2 + 2(0) = -2

Модуль початкової швидкості тіла x₁ - 2 одиниці на одиницю часу, вліво.

г) Прискорення руху: Прискорення може бути знайдене як друга похідна x₁ по відношенню до t: a₁(t) = d²x₁/dt² = 2

Для тіла x₂:

а) Рух тіла: Аналогічно до тіла x₁, рух тіла x₂ можна визначити. У рівнянні для x₂ коефіцієнт перед t² (2) більший, ніж коефіцієнт перед t (-5), отже, тіло рухається вправо (положительний напрямок осі OX) та є прискореним.

б) Початкова координата: Підставимо t = 0 у рівняння x₂: x₂(0) = -2 - 5(0) + 2(0)² = -2

в) Початкова швидкість: Похідна x₂ по відношенню до t виглядає так: v₂(t) = dx₂/dt = -5 + 4t При t = 0: v₂(0) = -5 + 4(0) = -5

Модуль початкової швидкості тіла x₂ - 5 одиниць на одиницю часу, вліво.

г) Прискорення руху: Прискорення можна знайти, взявши другу похідну x₂ по відношенню до t: a₂(t) = d²x₂/dt² = 4

Знаходження часу і координати зустрічі тіл:

Для знаходження часу і координати зустрічі тіл, рівняння x₁ і x₂ повинні бути однаковими. Поставимо їх у рівність одне одному:

8 - 2t + t² = -2 - 5t + 2t²

Розкладемо рівняння та знайдемо значення t:

7t = -10 t = -10/7

Тепер, підставимо знайдене значення t у рівняння x₁ або x₂, щоб знайти координати зустрічі:

x₁ = 8 - 2(-10/7) + (-10/7)² = 8 + 20/7 + 100/49 = 232/49 (координата зустрічі тіл)

Графіки проекцій швидкості та переміщення:

Я не можу побудувати графіки без конкретних числових значень для швидкості та координат. Проте, я можу пояснити, як це можна зробити:

1. Для графіків проекцій швидкості, використовуйте вирази для v₁(t) та v₂(t) і побудуйте їхні графіки відносно часу t.

2. Для графіків переміщення, використовуйте вирази для x₁(t) та x₂(t) і побудуйте їхні графіки відносно часу t.

На графіках проекц