Question

Уровнение колебаний пружинного маятника массой 5 ​​кг имеет вид: х = 0,2сos10 t. Определите: 1) циклическую частоту и период колебаний маятника; B 2) жесткость пружины маятника; 3) полную механическую энергию колебаний; 4) смещение, кинетическую и потенциальную энергит маятника через 0,025 с​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

m=5 кг    x=0.2*cos(10*t)   А=0,2 м   t=0.025 c

===

1) ω=10 рад

T=2*π/ω=0.628 c

=========

2) k=ω²*m=10²*5=500 Н/м

=========================

3) W=k*A²/2=500*0.2²/2=100 Дж

=====================

4) x=0.2*cos(10*0.025)=0.14 м

V= - 0.2*ω*sin(ω*t)= - 0.2*10*0.7=-1.4 м/с

Wk=m*V²/2=5*1.4²/2=4.9 Дж

Wn=W-Wk=100-4.9=95.1 Дж

================================

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно анализировать уравнение колебаний пружинного маятника, которое дано в виде:

\[x(t) = 0.2 \cos(10t)\]

1) Циклическая частота и период колебаний маятника: Циклическая частота (ω) и период (T) могут быть найдены из уравнения следующим образом:

Циклическая частота (ω) = 10 рад/с (коэффициент при t внутри косинуса) Период (T) = 2π/ω = 2π/10 = π/5 ≈ 0.6283 секунд

2) Жесткость пружины маятника: Жесткость пружины (k) можно найти, используя уравнение для периода колебаний пружинного маятника:

\[T = 2π \sqrt{\frac{m}{k}}\]

где: T - период колебаний, m - масса маятника, k - жесткость пружины.

Подставляем известные значения: 0.6283 сек = 2π √(5 кг / k)

Решаем уравнение относительно k:

k = (4π^2 * 5 кг) / (0.6283 сек)^2 ≈ 199.09 Н/м

3) Полная механическая энергия колебаний: Полная механическая энергия (E) маятника в данной точке времени можно найти, используя следующее уравнение:

\[E = E_k + E_p\]

где E_k - кинетическая энергия, E_p - потенциальная энергия.

Кинетическая энергия (E_k) маятника:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2\]

где v - скорость маятника.

Сначала найдем скорость маятника. Для этого мы можем взять производную от уравнения x(t):

\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -0.2 \cdot 10 \sin(10t) = -2 \sin(10t) м/с\]

Теперь мы можем найти кинетическую энергию:

\[E_k = \frac{1}{2} \cdot 5 кг \cdot (-2 \sin(10t))^2 = 10 \sin^2(10t) Дж\]

Потенциальная энергия (E_p) маятника для пружинного маятника считается относительно положения равновесия (где потенциальная энергия равна нулю):

\[E_p = \frac{1}{2} k x^2\]

Подставим значение x(t) в это уравнение:

\[E_p = \frac{1}{2} \cdot 199.09 Н/м \cdot (0.2 \cos(10t))^2 = 1.9918 \cos^2(10t) Дж\]

Теперь можем найти полную механическую энергию в момент времени t=0.025 с:

\[E(0.025 с) = 10 \sin^2(10 \cdot 0.025 с) + 1.9918 \cos^2(10 \cdot 0.025 с)\]

Вычислите это значение, и вы получите полную механическую энергию колебаний маятника.

4) Смещение, кинетическая и потенциальная энергия маятника через 0.025 с: Для нахождения смещения, кинетической и потенциальной энергии маятника в момент времени t = 0.025 с, подставьте t = 0.025 с в уравнение x(t), E_k и E_p, как показано выше.